（改題）代数学の世界【後編：群の同型】～少しだけ背伸びした世界～

 先週（前編）に引き続き、群の話をします。今回は「同型(同形)」(※１) が主役で、この概念があるから群を考える意味があります(※２)。

整数を３で割った余り(※３)を考えると、集合Ｈ＝{[0], [1], [2]} が得られます。記号[a]は３で割ると a 余る整数全体を表します。つまり、整数Zに対して

[a]={a+3n|n∊Z}．
（ a+3nは３で割るとa余る形をしていますね。1+3nは３で割ると１余る数です）

この集合には次のような演算が定義でき、その演算に関して集合Hは群を成します。実際、

[a]+[b]:=[a+b]

のように演算を導入すると、次のような乗積表が得られ、群であることが確認できます。具体的に書くと：1+3n∊[1], 2+3m∊[2]に対して、

(1+3n)+(2+3m)=3+3n+3m=3(1+n+m)∊[0]．

これを記号で表現すると、

[1]+[2]=[1+2]=[3]=[0]

となります。

演算が集合Ｈで収まっていて(※４)；単位元は[0]；[0]の逆元は[0], [1]の逆元は[2], [2]の逆元は[1]；整数なので結合律を満たします。 

このとき、別の演算を入れても群になるように思いませんか。例えば、

[a]･[b]:=[a･b]．

具体的に書くと：1+3n∊[1], 2+3m∊[2]に対して、

　　　　　　(1+3n)･(2+3m)=2+6n+3m+9nm=2+3(2n+m+3nm)∊[2]．
これを記号で表現すると、
　　　　　　　　　　          　　[1]・[2]=[1･2]=[2]

となります。乗積表は

となります。演算が集合Ｈで収まっていて単位元は[1]ですが、[0]の逆元はありません。したがって、群を成しません。

さて、前回の群G={1, ω, ω^2}と今回の群H＝{[0], [1], [2]} の群表を並べてみると

同じ形をしていることが解りますか。1↔[0], ω↔[1], ω^2↔[2] という対応があります。 このとき、GとHは同型であるといって、等号「＝」の上に「～」を載せた記号（※５）で

G≅H

と表現します。
群Gの元は複素数ですが、群Hの元は整数ですね。例が単純なので、あまり同型の有難みを感じませんが、群Hの方が簡単な形をしています。

有限群なので、群表によって、同型というのが判りやすかったと思います。一般論では、対応の部分が双射(全単射)に当たり、この条件を緩めた準同型写像(それぞれの群の演算を保存する対応)が活躍します。▢

注　途中の議論「演算が定義でき」で、「well-defined」が気になった人がいるかもしれませんが、これは本格的に群を学ぶときに理解すればいいことだと思うので、ここでは触れませんでした。入門への入門と思い、目を瞑ってください。▮

代数学の専門書の紹介：新妻弘、木村哲三 共著『群環体入門』

代数学の本で「入門」が入った書名は数多ありますが、ほとんどは入門かもしれないけれど、入門かなあというくらい難しい入門書です。しかし、上の本は多くの人が感じている「入門」という名に相応しいものです。数学でいう入門は専門数学への入門という意味で、敷居はかなり高いですね。だから、数学の専門書は題名で選んではいけません。

数学書は高価なので、慎重に選んでください。私は右側の演習書だけ所有しています。基本は他の本で学んだからです。　

左）新妻弘、木村哲三 共著『群環体入門』　右）左の演習書

 

※１　同型・同形。isomorphismの翻訳をどちらにするかの問題で、形の方がいいと思いますが、型に慣れてしまっているので、型を使っています。他に、線形代数・線型代数、関数・函数、付値・附値、共役・共軛などがあります。本質からほど遠いので、好みで選べばいいのです。中学・高校のセンセがどうかは分かりませんが、数学者がペケや減点をするなど考えられません。

※２　中学･高校数学ではほとんど活躍しないので、「同値」という概念の有難みを感じませんが、数学ではとても活躍します。例えば、定義(公理)ＡがあってＡ⇔Ｂなら、Ｂを定義(公理)にして議論を展開することも可能だからです。身近なものだと、実数の連続性で何を公理にするか、というのがありますね。同型もこれに似て、扱いやすいもので考察できるのが利点です。

※３　合同式を知っているなら、mod３のことです。

※４　演算が集合内で収まっていることを、演算が集合で閉じているといいます。

※５　私は「ー」の上に「～」を書いた記号を使っていますが、この記号がなかったので「≡」を使いました。

寅さん、月がきれい

夏目漱石はやはり偉大なのです。逸話「『月がきれいですね』とでも訳しなさい。」はよく知られていると思います。
 

数学者 志村五郎(故人)は、K大大学院哲学を修了した人から尊敬の念を抱かれています。
むかしの同僚が話してくれたのです。小説『檸檬』の舞台になった書店でアルバイトをしていたとき、志村五郎氏の著作『記憶の切繪図』『中国古典文学私選』を目にし、その著作が数学者であることを知り、それ以来、一目置くようになったのだそうです。私自身は数論の大家として存じ上げております。

夏目漱石は、日本人に素養を与えました。小説を通して、日本語を少しずつ整備したとみています。その恩恵を受け、共通語として普及したことによって、いまこうして意思を通じ合えます。数学者たちも日本人の教養を高めるべく、外国語を日本語に翻訳し、それによって日本語で数学の指導ができるようになりました。「ダッシュ」という日本語も定着させてしまいましたが。

「日本には総合大学は存在しない」
これは謎の数学者さんの言葉ですが、これを視聴すれば納得できると思います。


文系理系は昭和の前から使われているようで、受験予備校がつくったもののようです。「文系は、理系は」と言っている段階で、世界から取り残されています。これにより、もう、日本に漱石は出てこないと思います。安冨あゆみ氏が最後かなと思います。偏見だと思いますが、広く教養に溢れ、いろいろなことを研究する人は出てきにくいと思います。


本を読まない国語科教師、歴史を研究しない社会科教師、数学を研究しない数学科教師、物理を避ける理科教師とか、ありえません。教えないにしても、広く教養は身に着けてもらいたいですね。また、専門に固執してしまうのも困りものです。A.Einsteinらのように、悪のショッカーに利用されるだけではないでしょうか。

もしも車寅次郎に教養がもう少しあれば、マドンナの愛の告白にうまく答えらえれたでしょうに。『男はつらいよ 第46作』で愛が結ばれてます。いや、その前の第40作「サラダ記念日」でも告白されてたように記憶しています。でも結ばれたら完結してしまいますね。

葉　子「寅さん、月がきれい」
寅次郎「（月をみて）ほんとだねえ」
（がくっ）▢

左２冊は上で紹介した本、右の２冊は読んだことのある本です。
『記憶の切繪図』と『鳥のように』はエッセーです。教養の広さが感じられる作品ですし、政治的な見方も判ります。
『中国説話文学とその背景』は、指導教授から薦められて読んでみた本です。

（改題）代数学の世界【前編：有限群、巡回群】～少しだけ背伸びした世界～

１の虚数立方根をωと書く、というのがωの定義でしたね。だから、当然 ω^3=1です。
（ωはｵﾒｶﾞと読みます。ここで、ω^3はωの3乗を意味する表記と約束します） 

この顔文字の一部として知られる「ω」、高校数学Ⅱで登場しますが異質な感じを受けませんでしたか。でも受験数学には必須の知識ですね。

ωは悲しんでいると思います。教科書が「一般の３次方程式の根の公式と結びついている」ことに触れもしないから仕方ありません。今回は３次方程式の根の公式には触れませんが、いずれこの『数学雑談』で触れようと思っています。『理一の数学事始め』で、３次式の因数分解に触れた頃です。

以前、群については紹介しました。↓
少しだけ背伸びした世界：代数学～群の紹介～
ある集合に演算を１つ定義し、演算結果もその集合に収まり、その演算についてはある程度の自由度が保証されているときに群といいました。詳しくは上のリンクをご覧ください。


今回は「有限群」「位数」「群表」「巡回群」「生成元」について説明します。

１の立方根全体{1, ω, ω^2} (※1) は複素数Cの部分集合ですが、この集合は複素数のふつうの積「・」に関して群を成します。有限集合の場合は次のような乗積表が有効です。縦横それぞれに1, ω, ω^2を書き並べ、表の縦列と横列で交差したところにその２つの積の結果を書き入れます。

この表から、①集合{1, ω, ω^2}だけで、積・が完結している ②１が単位元である ③１の逆元は１，ωの逆元はω^2，ω^2の逆元はωである ことが判ります。
群であるには、結合律について調べる必要がありますね。そこで、

問題　結合律が成り立つことを示してください。

専門書にありがちな問です。こういう場合、答えを探してもせいぜい「容易」としか書かれていません。

問題の解説　結合律は、a, b, c∊{1, ω, ω^2} に対して、a・(b・c)=(a・b)・c であることを確認すればいいですね。この場合は、a, b, c が複素数でなので、自然と結合律は成り立ちます。このことに気づかないと、3･3･3=27通りの場合を確認することになります。▮(※2)

複素数Cの部分集合G:={1, ω, ω^2}は、積に関して群を成すことが判りました。有限集合が群を成すので、有限群と呼ばれます。このときの元の個数を群の位数といいます。つまり、群Gは位数３の有限群です。また、上の乗積表は群表ともいいます(※3)。

さらに、群Gにおいて、１つの元ωのべきを考えるとω, ω^2, ω^3=1となり、すべての元を表すことができます。このとき、群Gを巡回群、 ω を生成元といい、記号〈　〉を用いて次のように表現します：

Ｇ＝〈ω〉.

問題　Ｇ＝〈ω^2〉が成り立つことを確認してください。

このことから、生成元は一意的でないことが判ります。

問題の解説　ω^2のべきを考えます。
ω^2, (ω^2)^2=(ω^3)・ω=1・ω=ω, (ω^2)^3=(ω^3)^2=1^2=1 から、
　　　　　　　　　　　　　G={1, ω, ω^2}＝〈ω^2〉．▮

「群の同型」まで話をしようと思ったのですが、考えていたよりも長くなったので、ここで区切ることにします。続きは一週間後です。▢

代数学の専門書紹介：新妻弘、木村哲三 共著『群環体入門』

代数学の本で「入門」が入った書名は数多ありますが、ほとんどは入門かもしれないけれど、入門かなあというくらい難しい入門書です。しかし、上の本は多くの人が感じている「入門」という名に相応しいものです。数学でいう入門は専門数学への入門という意味で、敷居はかなり高いです。だから、数学の専門書は題名で選んではいけません。

数学書は高価なので、慎重に選んでください。私は右側の演習書だけ所有しています。基本は他の本で学んだからです。

左）新妻弘、木村哲三 共著『群環体入門』　右）左の演習書

※１　１とωが x^3=1 の根であることは問題ないと思うので、ω^2 が根であることだけを確認します。そのために３乗した結果が１になるかをみます：

(ω^2)^3=(ω^3)^2=1^2=1

となり言えました。また、ω≠ω^2であることは、ω≠1であるから ω^2－ω=ω(ω－1)≠0であることから言えます。

※２　複素数には、加減乗除だけでなく、結合律、分配律、交換律も仮定されています。実数と異なるのは大小関係だけでしょうか。例えば、1と1+i に大小関係はありません。

※３　群表というときには、群を成していることが前提です。

動画はこちら

大学で数学を学ぶなら、学び方に困っているなら…お薦めの２冊

新学期もはじまり、コロナ禍で過ごしにくいと思いますが、大学１年生はこれまでとの数学との違いに戸惑っていると思います。人によっては、大学によっては、高校数学の延長のようなことをしていると感じているかもしれませんが、突然、数学が難しくなると思います。

多くの人は「イプシロン・デルタ論法」でしょうか。それとも「位相」とか「同値類で割る話（または、剰余類）」のところでしょうか。抽象度が上がるにつれ、どんどん、どんどん、どんどん意味不明になります。私なんかは目が回る思いでした。その反動でか、塾講師に熱を上げ留年する有様でした。微分幾何で挫折するのは必然だっと思います。

さて、大学で数学を学んでいて、どのように数学を学んだらいいのかと困っているなら、次の２冊をお薦めします。私の学部生時代には、存在すらしてませんでした。

伊原康隆著『志学数学』と 佐藤文広著『数学ビギナーズマニュアル』です。

伊原康隆さんの本は、独学している人には特にお薦めです。このように研究するのかということを教えてくれます。独学なら第一章だけで十分かと思います。

『数学ビギナーズマニュアル』は、大学１年生向けかなと思いますが、学部３年生までなら十分役立つと思います。大学院生には、知ってることしか書かれていないように思います。

絶版になっていたように思ってたのですが、新刊で手に入れることができるようで良かったですね。立ち読みできるなら、いちど目を通してみてください。▢

補遺　最近は動画でも数学の学び方がいろいろ紹介されていますが、本は考えながら読めるのがいいですね。読み直したい所だけを何度も読めるのもいいところです。

これまでも何度か紹介していますが、謎の数学者さんの動画（YouTube）も参考になると思います。■

数学の専門書を２次方程式の根の公式で説明すると...

数学の専門書というものを、２次方程式の根の公式でもって紹介します。 

話の前提：平方完成を利用して２次方程式を解く話が終わったあと。

もう少し良心的な専門書なら

裏に書いてある解答を見てみると

パターン１）問１　容易

パターン２）問１　省略

パターン３）（何も書いていない）

※2枚の画像はパワーポイントで書いたものです。見にくいと思いますが、ご勘弁ください。

数学の専門書は、こういう感じのものが多いと思います。解答が省略されたり、何も書いていなかったりするのは、これくらいは自力で解きなさいというメッセージなのだと思います。中には解答を書くのがめんどうだから書かないこともあると思いますが。

数学は、自分で考えないと出来るようにはなりません。受験勉強のときのように、参考書の解法パターンを覚えて解けるようになっても出来るようにはなりません。将棋AIがプロ棋士より強くなったこともあり、AIを利用して研究する棋士が多くなっということですが、AIの出す手順だけを暗記しても強くならないのと同じです。なぜそう指すのかは自分で考えないとならないのです。

自分で学びたいと思って数学書を買う場合は、評判などではなく、ある程度時間をかけて選びましょう。学生なら、大学の図書館を利用することができますね。町の図書館では、数学の専門書はほとんど置いていません。最近は、各大学のシラバス等がネットで閲覧できるので、そのシラバスで紹介されている本を選ぶという手もあります。数学の専門書を置いている書店はほとんどないですからね。▢

最後に、読みやすかった専門書を紹介します。

線形代数に関しては、佐久間元敬 共著『線形代数教科書』が調度いい読みやすさでしたが、絶版になっていたので、
左）三宅敏恒著『入門 線形代数』（培風館）を紹介しておきます。この本はかなり読みやすかったです。解答もていねいなので、高校参考書の延長のように思いました。『線形代数教科書』を読んだ後に、読んだからかもしれませんが。

中央左）石田 信著『代数学入門』（実教出版）は授業の参考書として指定されたものです。これで代数の初歩を学びました。

中央右）E.アルティン著『ガロア理論入門』（ちくま学芸文庫）　現在は文庫で売られていますが、東京図書から出されていたA5サイズを読みました。

右）松本幸夫著『多様体の基礎』（東大出版会）　正に、多様体の基礎を学ぶ本だと思います。ここでいう多様体は微分多様体です。代数多様体ではありません。

数学と受験数学のギャップ

 "根の公式が独力で導けるようになるのは理想です。ずっと昔、ある大学で根の公式を導きなさいという問題が出されたようです。私の恩師が話していました。数学科に入るのなら、これくらいは解けてほしいという大学からのメッセージなのだと思います。"

これは『理一の数学事始め』のシリーズ7の4「2次方程式の解法（根の公式①）」のはじめに書いたものです。これで思い出したのですが、三角関数の加法定理を証明しなさいという問題が東京大学で出題されたことがありました。

推薦入試やＡＯ入試が各大学で実施するようになった頃、「数学の出来る生徒を推薦して欲しい」と言われたことがありました。その面接では簡単な数学の知識を訊くことを知らされていました。例えば、２次方程式の解の公式を述べてもらい、それを証明するようなことです。実際は、受験生はこれでも答えられないようです。面接という緊張もあると思いますが、数学の基本の基を理解していないためだと思います。大学側が基本的な問題を面接で訊くということは、そのことを十分認識しているからだと思います。「入試の点数は良いのに数学ができない」という嘆きは、何度か耳にしました。

実際、基本の基を知らないために説明で苦労することは何度もありました。当然、理解が浅いので定着もしません。近視眼的にしか物事を考えられないために、基本に戻って理解することを怖れるのだと思います。長い目で見れば、基礎を固めることが如何に大切であるかが解ると思うのですが、当人にとっては難しいことのようです。受験は時間との勝負だから、どうしても焦るのでしょうね。その気持ちは十二分に解ります。

森　毅 著『数学受験術指南』（中公新書）
この本を最初に読んだのは、高校３年の夏だと記憶しています。図書館で偶然これを見つけて読みました。学習をしに図書館に行ったのに、夢中になって読みました。その中に、受験生の数学の力をみるのに「自宅から受験会場まで、どのように来ましたか」を訊けばいいというようなことが書かれていました。自分が解っていることをどのように説明するのかで、数学の証明と同じ力がみられるという主張だったと記憶しています。この考えは、いまでも納得できます。▢

数学者 志村五郎氏が提案した入試問題

"入試問題などというものは基本的知識の有無と理解の程度を調べればよいのである"

という考えのもとで、志村氏が提案したという問題の一つが

 「一辺の長さ１の正四面体ABCDの辺ABの中点と辺CDの中点との距離を計算せよ。」

で1960年頃の東京大学の入学試験で採用されたようです。

※ 志村五郎著『数学で何が重要か』ちくま学芸文庫　pp.028-032「４．入学試験と数学オリンピック」から一部抜粋　　詳しくは、この本をご覧ください。

 

そう考えると次の問題はそれに該当するでしょうか。

「縦２，横１＋√５の長方形の壁を出来るだけ大きい同じ大きさの正方形のタイルで隙間なく埋めたい。このときのタイルの一辺の長さを求めよ。もしも隙間なく埋められない場合は、その理由を説明せよ。ただし、タイルの厚さは考えないものとする。」

これは湯舟の中で思いついた問題（ルート５の５に屋根がないことはご勘弁を）で、このくらいの問題が解ければ高校卒業後の数学も学べると思います。もちろん、これだけだと知識は足りませんが、数学の啓蒙書を読むのには困らないと思います。▢

補遺　最初の問題を少しだけ変えて、
 「一辺の長さ１の正四面体の捩れの位置にある二辺の中点間の距離を計算せよ。」
とすれば、基本的知識がもう一つ確認できそうです。

只の雑談
「pp.028-032」のpp. はpageの複数形pagesを意味しています。p.028～p.032と表現されることが多いようですが、この表現はpm5:00やX'masくらい気になります。▮

この雑談に気づいてくれた人へのおまけ
一目置いている謎の数学者さんの動画を紹介します：
数学の問題には２種類ある。慣れるための問題と数学のなぞなぞ