（改題）代数学の世界【後編：群の同型】～少しだけ背伸びした世界～

 先週（前編）に引き続き、群の話をします。今回は「同型(同形)」(※１) が主役で、この概念があるから群を考える意味があります(※２)。

整数を３で割った余り(※３)を考えると、集合Ｈ＝{[0], [1], [2]} が得られます。記号[a]は３で割ると a 余る整数全体を表します。つまり、整数Zに対して

[a]={a+3n|n∊Z}．
（ a+3nは３で割るとa余る形をしていますね。1+3nは３で割ると１余る数です）

この集合には次のような演算が定義でき、その演算に関して集合Hは群を成します。実際、

[a]+[b]:=[a+b]

のように演算を導入すると、次のような乗積表が得られ、群であることが確認できます。具体的に書くと：1+3n∊[1], 2+3m∊[2]に対して、

(1+3n)+(2+3m)=3+3n+3m=3(1+n+m)∊[0]．

これを記号で表現すると、

[1]+[2]=[1+2]=[3]=[0]

となります。

演算が集合Ｈで収まっていて(※４)；単位元は[0]；[0]の逆元は[0], [1]の逆元は[2], [2]の逆元は[1]；整数なので結合律を満たします。 

このとき、別の演算を入れても群になるように思いませんか。例えば、

[a]･[b]:=[a･b]．

具体的に書くと：1+3n∊[1], 2+3m∊[2]に対して、

　　　　　　(1+3n)･(2+3m)=2+6n+3m+9nm=2+3(2n+m+3nm)∊[2]．
これを記号で表現すると、
　　　　　　　　　　          　　[1]・[2]=[1･2]=[2]

となります。乗積表は

となります。演算が集合Ｈで収まっていて単位元は[1]ですが、[0]の逆元はありません。したがって、群を成しません。

さて、前回の群G={1, ω, ω^2}と今回の群H＝{[0], [1], [2]} の群表を並べてみると

同じ形をしていることが解りますか。1↔[0], ω↔[1], ω^2↔[2] という対応があります。 このとき、GとHは同型であるといって、等号「＝」の上に「～」を載せた記号（※５）で

G≅H

と表現します。
群Gの元は複素数ですが、群Hの元は整数ですね。例が単純なので、あまり同型の有難みを感じませんが、群Hの方が簡単な形をしています。

有限群なので、群表によって、同型というのが判りやすかったと思います。一般論では、対応の部分が双射(全単射)に当たり、この条件を緩めた準同型写像(それぞれの群の演算を保存する対応)が活躍します。▢

注　途中の議論「演算が定義でき」で、「well-defined」が気になった人がいるかもしれませんが、これは本格的に群を学ぶときに理解すればいいことだと思うので、ここでは触れませんでした。入門への入門と思い、目を瞑ってください。▮

代数学の専門書の紹介：新妻弘、木村哲三 共著『群環体入門』

代数学の本で「入門」が入った書名は数多ありますが、ほとんどは入門かもしれないけれど、入門かなあというくらい難しい入門書です。しかし、上の本は多くの人が感じている「入門」という名に相応しいものです。数学でいう入門は専門数学への入門という意味で、敷居はかなり高いですね。だから、数学の専門書は題名で選んではいけません。

数学書は高価なので、慎重に選んでください。私は右側の演習書だけ所有しています。基本は他の本で学んだからです。　

左）新妻弘、木村哲三 共著『群環体入門』　右）左の演習書

 

※１　同型・同形。isomorphismの翻訳をどちらにするかの問題で、形の方がいいと思いますが、型に慣れてしまっているので、型を使っています。他に、線形代数・線型代数、関数・函数、付値・附値、共役・共軛などがあります。本質からほど遠いので、好みで選べばいいのです。中学・高校のセンセがどうかは分かりませんが、数学者がペケや減点をするなど考えられません。

※２　中学･高校数学ではほとんど活躍しないので、「同値」という概念の有難みを感じませんが、数学ではとても活躍します。例えば、定義(公理)ＡがあってＡ⇔Ｂなら、Ｂを定義(公理)にして議論を展開することも可能だからです。身近なものだと、実数の連続性で何を公理にするか、というのがありますね。同型もこれに似て、扱いやすいもので考察できるのが利点です。

※３　合同式を知っているなら、mod３のことです。

※４　演算が集合内で収まっていることを、演算が集合で閉じているといいます。

※５　私は「ー」の上に「～」を書いた記号を使っていますが、この記号がなかったので「≡」を使いました。