３次方程式の根の公式を導く ～ 高校数学Ⅱ＋ｱﾙﾌｧ ～

前回は、一般の３次方程式

$$ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad (a, \: b, \: c, \: d \in \mathbb{R},\: a \neq 0)$$

が

$$x^3+px+q=0 \quad p, \: q \in \mathbb{R} \:\: \cdots (*)$$

のように表せることをみました。今回はこの３次方程式を解きます。

使う道具は３次式の因数分解公式

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)$$

で、この式を利用して $(*)$ を因数分解します。左辺の $a$ を $x$ とし、$x$ について整理し $b, \: c$ を決定します。

$$x^3-3bcx+(b^3+c^3)=(x+b+c)(x+b\omega+c\omega^2)(x+b\omega^2+c\omega) \cdots (1)$$

と因数分解できれば求めたい根は

$$x=-b-c, \: -b\omega-c\omega^2, \: -b\omega^2-c\omega$$

です。

式 $(1)$ と $(*)$ の係数を比べると

$$bc=-\dfrac{\:p\:}{3}, \: b^3+c^3=q .$$

この式を満たす $b, \: c$ を見つければ因数分解できます。第一式を３乗すると

$$b^3c^3=-\dfrac{\:p^3\:}{27}, \: b^3+c^3=q .$$

見やすいように、$B:=b^3, \: C:=c^3$ と置くと

$$BC=-\dfrac{\:p^3\:}{27}, \: B+C=q .$$

この式を満たす $B, \: C$ は $t$ の２次方程式

$$t^2-qt-\dfrac{\:p^3\:}{27}=0$$

の根です。根の公式により

$$t=\dfrac{\:q\pm \sqrt{q^2+\dfrac{\:4p^3\:}{27}}\:}{2},$$

$$t=\dfrac{\:q\:}{2}\pm \sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}. \:\: 《← check!》$$

一方が $B$ で、もう一方が $C$ の値です。

$$B=\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}$$

とすると

$$b^3=\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}.$$

これを満たす $b$ の中の１つを選び（どれを選んでも最終結果は変わりません）

$$b=\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}$$

とします。このとき $bc=-\dfrac{\:p\:}{3}$ によって

$$c=\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}$$

となります。《← check!》

よって、３つの根 $x_1, \: x_2, \: x_3$ は

$$x_1=-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}},$$

$$x_2=-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega^2,$$

$$x_3=-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega^2-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega$$

となります。▮

抽象的な式変形だったので同じ手法で具体的に解いてみましょう。上の議論が理解できたのなら、根の公式を使ってみてください。

例題　３次方程式 $x^3-6x^2+6x-2=0$ を解け。　　【動画あり】←クリック

解答解説　因数定理を利用しても整数解は見つけられません。《← check!》

まずは前回の方法を用いて２次の項を消去します。

$x=y+2$ と未知数を変換すると

$$(y+2)^3-6(y+2)^2+6(y+2)-2=0 ,$$

$$y^3-6y-6=0. \:\: 《← check!》$$

これも整数解は見つけられません。そこで $(1)$ と比較して $b, \: c$ を１組決定します。すると

$$bc=2, \:\: b^3+c^3=-6q ,$$

$$b^3c^3=8, \:\: b^3+c^3=-6 .$$

２次方程式

$$t^2+6t+8=0$$

を解くと

$$t=-2, \: -4 .$$

したがって

$$b^3=-2$$

とすると（$b^3=-4$ としても最終結果は同じになります）《← check!》

$$b=-\sqrt[3]{2}.$$

（実際は３つの根 $-\sqrt[3]{2}, \: -\sqrt[3]{2}\:\omega, \: -\sqrt[3]{2}\:\omega^2$ を持ちますが、いずれか１つを選びます）

このとき $bc=2$ より

$$c=-\sqrt[3]{4}. \:\: 《← check!》$$

したがって

$$y^3-6y-6=(y-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})(y-\sqrt[3]{2}\:\omega-\sqrt[3]{4}\:\omega^2)(y-\sqrt[3]{2}\:\omega^2-\sqrt[3]{4}\:\omega)$$

と因数分解でき、根は

$$y=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}, \: \sqrt[3]{2}\:\omega+\sqrt[3]{4}\:\omega^2, \: \sqrt[3]{2}\:\omega^2+\sqrt[3]{4}\:\omega.$$

未知数を変換して解いているので、与えられた方程式の根は

$$x=2+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}, \: 2+\sqrt[3]{2}\:\omega+\sqrt[3]{4}\:\omega^2, \: 2+\sqrt[3]{2}\:\omega^2+\sqrt[3]{4}\:\omega.$$

です。▮

３次方程式の根の公式を覚えるのはたいへんそうですが、理屈が分ればこのように解くことができます。２次方程式を平方完成で解くようなものです。

高校の恩師が「３次方程式の解法なら気づける」と言ったのを思い出し、自分だったらどう解くかを考えていたときに３次式の因数分解公式を用いれば解けることに気づきました。これはそれを書き起こしたものです。ただし、前回紹介した未知数の変換によって３次方程式が $(*)$ のように変形できることは過去に別の解法を追ったことがあるので知っていました。もちろん、16世紀のイタリアに居たとしても、フォンタナ(タルターリア)やカルダーノのように発見できる自信はありません。先人たちによって整備された数学を学んだからに過ぎません。

九州大学理学部の落合啓之教授が高校生向けに「３次方程式」の話をしています。三部作になっていて、ガロア理論にも触れています。▢