Mr.Robotにプログラムする

 いきなりの問題で嫌だと思いますが、これを考えてみてください。

「小さな箱が８箱あり、１箱にデコポンが６個ずつ入れられています。全部でデコポンは何個ありますか」
あなたなら、この問題をどのような計算式で答えの48個を導きますか。

日本の学校教育に忠実な人は、６×８　が多く、８×６　は少数だと思います。
日本以外で教育を受けた人は、８×６　が多く、６×８　は少数でしょうか。
ひょっとしたら、６＋６＋６＋６＋６＋６＋６＋６　や　８＋８＋８＋８＋８＋８
を計算して求める　と答える人もいると思います。

もちろん、いずれも正解です。

(♪)　　（１当たりの量）と（分量）を掛けることで、（全体の量）が求められる

からです。足し算で求める方法を答えた人はとても堅実だと思います。

えっ、８＋８＋８＋８＋８＋８の理由が意味不明ですか。これは日常的にも使われている考え方です。運動会の玉入れで数を数えるときを思い出してください。つまり、８人のひとがそれぞれの箱から１個ずつ取り出していくと、６回取り出した時点で数え終わるでしょ。

「教育上掛ける順番は大切」「どちらでもいい」「外国では逆に教えている」「左から作用させることが多い」「単位が異なるから順序は大切（※０）」などなどの意見があることは、ツイッターやYouTubeで何度か目にしたので知っています。
高校生の頃、遠山啓氏の本を読んだので、仮に（１当たりの量）×（数量）＝（全体の量）が正しいとしても８×６が成り立つことも知っています。（玉入れやトランプ式　※１）

考えている世界が可換なのだから、（♪）が本質で、本来そのように教えられるものだと思います。記号「×」には可換性が仮定されていません（※２）が、対象としている数の世界で可換なのだから、順番を気にする方が不思議です。因みに、高校、大学では左からの作用が多く用いられています。高校数学（数学Bの和公式）も

　　　　　　　　　　　a+a+a+…+a= aをｎ個足す =na

と書きますし、場合の数で学ぶ「積の法則」も高校教科書の多くが左作用で書かれています(※３)。一度だけ、右作用で書かれた教科書を見掛けたことがあります。それくらい稀なのです。

さらに、代数学（細かいことは省きますが）でも、

　　　　　　　n<0 のとき， na:=(-a)+(-a)+(-a)+…(-a)=(-a)が(-n)個

という書かれ方をします(※４)。

次の問題を考えてみてください。

家族７人で回転寿司に行きました。そのときの様子は以下の通りです。13歳のわたしは10皿、７歳の妹は５皿、16歳の兄は27皿、43歳の父は12皿、37歳の母は35皿、65歳の祖父は７皿、72歳の祖母は47皿食べました。１皿に寿司が２個ずつ乗っているとすると、わたしの妹は寿司を何個食べましたか。（※５）


この問題を小学２、３年生が「10個」と解けたのなら、何の問題もありません。いろいろな数量を処理したのだから、とても賢いと思います。「５＋５」であってもです。もう既に書きましたが、このように考えると自然です。

わたしの妹が食べた寿司が、イクラ、マグロ、サーモン、たまご、ハンバーグとし、この５皿を並べて１個ずつ順に食べたとすると、５＋５ですよね。

ところで、足し算や掛け算を理解していないと、７歳の妹が５皿食べたのだから、７＋５や５×７や７＋２＋５などとしてしまうものです。この混乱を狙った問題なのですが、問題文を理解し10個と出したのなら、5+5でも2+2+2+2+2でもとても賢いと思います。もし足し算で答えを出したのなら、このときに「掛け算」が使えることを教えればいいのです。何度も教えれば、いつか気づくものです。

私の言いたいことは伝わったでしょうか。
大学所属の数学者たちが文科省に意見書を出さない限り、本質から逸れた議論が今後も続くと思います。検定教科書に名が載っている数学者たちには、未来の子供たちのためにがんばってもらいたいと思います。▢

※０　オームの法則は単位が異なりますが、「E=IR」も「E=RI」も使われているようです。本質は、電位差と電流は比例することだと思います。積の順序ではありません。

※１　玉入れ式は既に述べた通りの方法です。「トランプ式」はトランプを配るときの方法です。多くは、一枚一枚を一人一人に順繰りに配付していると思います。１周すると人数分の枚数を配ることになります。だから、何周するかで配った枚数が判りますね。１箱から１個ずつ取っていくと、６周したら全部取り終わります。だから、８×６となります。
この主張は真正面から「掛け算の順序」に異議を唱えていると思います。でも欠点は、立式した人がそこまで考えたとは思えないことです。掛けたら求められると覚えているだけで十分だと思います。
この「トランプ式」が遠山氏の本でないなら、矢野健太郎氏の本です。40年も前の記憶なので自信がありません。

※２　【雑談は数学の肥やし】記号「×」には可換性が仮定されていません。をご覧ください。

※３　積の法則「２つの事柄A，Bがあって、Aの起こり方がa通りで、そのそれぞれに対してBの起こり方がb通りであるとき、AとBがともに起こる場合はab通りである」というものです。もしも（１当たりの量）×（数量）＝（全体の量）が絶対なら、Aのある１つの事柄に対してb通りあるのだから、baと書くことになります。でも、ほとんどすべての教科書がabの表記になっています。

※４　2-1. いまさらきけない『文字式の扱い方』にも書きましたが、文字をアルファベット順に書くことは多いのですが、絶対ではないことがこのことからも判りますね。もしも中学数学でアルファベット順を強調しているのなら、本質から逸れています。

※５　「貫」を用いると、混乱が生じる可能性があるので、敢えて、「個」を用いることにしました。

補遺
テストの正誤判断について、ガッコのセンセに文句を言っても何も変わりません。指導書、学校毎、出身教育大学毎、指導教官などさまざまな理由があると思われます。塾のテストでさえそうなのです。

尚、大学の数学者たちは、数学的に誤りでない限りペケにしません。ひょっとしたら、ペケにするような数学者を幸い知らないだけかもしれません。

日本の大学の数学者たちが、小中高の学校教育にも興味関心を持ち、教科書検定で名前だけを連ねるだけのことから脱し、教科書の誤りに問題提起するようになれば、数学の出来る学生も多くなるだろうし、文系や理系などというおかしな区分もなくなるだろうし、さらには技術革新(innnovation)に貢献できると思うのですが…。妄想は膨らむ■

加筆(2021.4.1)
補足　どの本に書かれていたか調べてみたら、現在所有している次の２冊に書かれていることが判りました。

左の矢野健太郎著『おかしなおかしな数学者たち』（新潮文庫）昭和59年
は古本でしか残っていないようです。102ページから始まる章『遠山啓』の節「カード式配り方」(119ページ～) の記憶が残っていたようです。

右の志村五郎著『数学をいかに教えるか』（ちくま学芸文庫）2014年
は値段が高めですが手に入るようです。045ページから『３．掛け算の順序』の章を設けて書かれていました。７年ほど前に読んだので忘れていました。志村谷山予想で知られている志村氏も触れていたのですね。

四角数（平方数）と数列の和

 １，４，９，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，...

が四角数です。『理一の数学事始め』の因数分解では、平方数として紹介した数です。これらは小さい方から順に、１，２，３，４，５，６，７，８，９，10,...を２乗した数です。

なぜ「四角数」と呼ばれるのか。

１×１＝１＝１，

２×２＝４＝１＋３，

３×３＝９＝１＋３＋５，

４×４＝16＝１＋３＋５＋７，

５×５＝25=１＋３+5＋７＋９，

６×６＝36＝１＋３＋５＋７＋９＋11，

............

右辺［１から順に並べた奇数の和］は真ん中の数になるのは、計算で確かめられます。左辺は真ん中の数が平方数であることを示しています。

次の図をみると、そのことがよくわかると思います：
左から順に、１、１＋３、１＋３＋５、１＋３＋５＋７を表しています。

さらに、１＋３＋５＋７＋９、１＋３＋５＋７＋９＋11と並べてみました。

碁石を１個、3個、５個、７個、…と " 」" の形に並べていくと、きれいに正方形状に並ぶことが確認できると思います。これにより、全部の碁石の個数は（１辺に並んだ碁石の個数）×（１辺に並んだ碁石の個数）で求められるます。だから、１から始まる奇数列の和は四角数であり、平方数なのです。

このことから、

　　１＋３＋５＋７＋９＋11+13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29＋31＋33

を計算するのも簡単ですね。奇数が１から順に17個ならんでいるので、17×17＝289です。

このような数の不思議を解明しようというのが、数論とか整数論と呼ばれているものです。小川洋子さんの小説『博士の愛した数式』は、その世界が描かれていますね（※１）。▢


YouTubeの動画でも説明しています。

※１　整数だからといって、整数だけを扱って研究している訳ではありません。抽象代数学(群･環･体など)を使わずに、整数の不思議を話している世界をみたいなら、

ハーディ，ライト 共著『数論入門Ⅰ，Ⅱ』（シュプリンガー数学クラシックス）

をご覧ください。

数学の本は高価なので、立ち読みか図書館で借りるなどして、気に入ったら購入し、じっくりと読んでみてください。

補遺
京大の望月氏の研究で判るように、数論の研究は整数の世界だけでは解明できないのです。整数論の研究というと、群･環･体→代数的整数論→高木類体論，複素関数論→解析的整数論→岩澤理論，代数幾何・楕円曲線論→数論幾何などがありますが、実際は、興味関心に惹かれ、研究を深めているようです。解析に秀でた同期の学生は、ζ(ｾﾞｰﾀ)関数の本を読みこなし、Riemann(リーマン)予想の解明に興味を持っていました。■

加筆
左の本は　矢野健太郎著『すばらしい数学者たち』（新潮文庫）
私が所有しているのは昭和55年版で、表紙もまったく違います。その絵は、こちらの note で見られます。ピタゴラスの章の44ページから触れられています。この本で最初に知りました。

右は　コンスタンス・レイド著『ゼロから無限へ』（ブルーバックス）
93ページからの『４の話』で触れられています。この本は、サブタイトル「数論の世界を訪ねて」から判るように、数論に興味がある人はたのしく読めると思います。

因数分解や展開は数の計算にも使える

次のイ）～ヌ）を工夫して計算してみます。あなたなら、どのように計算しますか。

イ）53×68＋53×32　　　　　　　　　ロ）381×78－68×381

ハ）87×87－13×13　　　　　　　　　ニ）243×243－43×43

ホ）72×72　　　　　　　　　　　　　 ヘ）203×203

ト）43×42　　　　　　　　　　　　　 チ）718×702

リ）83×53　　　　　　　　　　　　　 ヌ）307×207

次に示す方法で計算できます。実際の計算は最後に示します。

イ）53×68＋53×32　
ロ）381×78－68×381

この２つは、因数分解すると暗算で答えが出せます。多くは、分配律と一緒に習うと思うのですが、私は因数分解と認識しています。数値を工夫してありますが、因数分解ができるときは因数分解した方が計算はらくです。

ハ）87×87－13×13
ニ）243×243－43×43

この２つも因数分解すると計算がらくです。

ホ）72×72
ヘ）203×203

この２つは展開公式を利用すると計算がらくで、暗算も可能だと思観ます。

ト）43×42
チ）718×702
リ）83×53
ヌ）307×207

この４つは同じ展開公式を利用すれば、計算がらくになります。

では、その計算方法を示します。公式は下の写真を参照してください。

イ）53×68＋53×32=53×(68+32)=5300,

ロ）381×78－68×381=381×(78-68)=3810,

ハ）87×87－13×13＝(87+13)･(87-13)=7400,

ニ）243×243－43×43=(243+43)･(243-43)=57200,

ホ）72×72=(70+2)･(70+2)=4900+280+4=5184,

ヘ）203×203=(200+3)･(200+3)=40000+1200+9=41209,

ト）43×42=(40+3)･(40+2)=1600+200+6=1806,

チ）718×702=(700+18)･(700+2)=490000+14000+36=504036,

リ）83×53=(80+3)･(50+3)=4000+390+9=4399,

ヌ）307×207=(300+7)･(200+7)=60000+3500+49=63549．

※ ホ）からヌ）までは、暗算部分を縦に並べると計算しやすいですね。□

動画版【数学雑談】（2021.3.21 9:17以降視聴可）

高校数学B【Σ 計算なるものの答えは、なぜ因数分解するのか】

「∑計算の答えは因数分解の形で書きなさい」

と指示されましたか。それとも、何も言われませんでしたか。
もしも、指示されたのなら、その理由をガッコのセンセは話してくれましたか。

結論は、因数分解してもしなくても構わないのですが、私なら、極力、因数分解で答えます。ちょうど今、『理一の数学事始め』では因数分解を話していて、その理由に当たるものを因数分解の初回に話ました（※１）。

∑は総和記号として使われているのだから、求めたいのは和の値です。だから、初項から第50項までの和を求めなさいとなったら、数値50を当てはめて計算することになります。そのとき、降べきの順に４次式が並んでいたら計算する気は起きません。苦痛なだけですね。でも因数分解されていたら、計算も大したことなさそうです。これが理由です。そうであるなら、降べきの順に並べたものを書くよりは、少しでも計算が楽になりそうな式の方がいいですね。

さて、そのときガッコのセンセは〇をくれるのでしょうか。それとも減点するでしょうか。問題文に支持がない限り、問題ないはずですが果たしでどうなるのでしょう。大学のセンセなら〇をくれると思います。▢

※１　参照先は↓

・活字版(note)：4-8. いまさらきけない多項式（因数分解はじめの一歩）

・動画版(YouYube)：多項式の話⑧（因数分解とは何か。何がうれしいのか）

前回『85×85、47×43、69×71 のような掛け算なら、暗算できる』の続き（計算の理屈）

 （再掲　その３）
△０から前後に同じ１～３だけ離れている数の掛け算の形なら、答えは
△×△ー(離れている数)×(離れている数) です。
例５．69×71 ➡ 69 と 71 は 70 から前後に１だけ離れているから

         69×71＝70×70－１×１＝4900－１＝4899．
　　（70×70－１×１を暗算して 4899 を出します）■

その３）の理屈は簡単で、展開公式の (a+b)(a-b)の利用です。a に当たるのが「△0」で、
ｂに当たるのが「離れている数」です。だから、平方数－平方数を計算したのです。
詳しくは、『4-6いまさらきけない多項式』または 動画『多項式の話⑥』をご覧ください。


（再掲　その１），その２）
その１）○５×○５（中学生以上なら○５の２乗）なら、答えは
○ と (○に１を足した数) を掛けた数と25を並べる。25は5×5の答えです。
例１．85×85 ➡８×９＝72 ➡ 答えは7225．

その２）○△×○▢（ただし、△＋▢＝10）なら、答えは
「○ と (○に１を足した数) を掛けた数」と「△と▢を掛けた数」を並べる。
例３．47×43 ➡４×５＝20，7×３＝21 ➡ 答えは2021．■

理屈を説明する前に、２桁の数の仕組みを確認しておきます。

85、47、43 はそれぞれ
85＝80＋5＝8･10+5、47＝40＋7＝4･10+7、43＝40＋3＝4･10+3 と表現できますね。つまり、十の位の数がａで一の位の数がｂなら、10a+b と表現できるということです。

このことから、３桁の数は、百の位の数がａ，十の位の数がｂ，一の位の数がｃとすれば、100a+10b+c と表現できます。中高生にはテストで出される基本事項となります。

では、その１），その２）を説明します。
その１）○5 ➡ ○０＋５ ➡ ○×10＋５ ➡ 10a+5（ａは十の位の数字）と表現できます。
したがって、

a･(a+1)が○と(○に１を足した数)を掛けた数です。これに100を掛けることで桁が２つずれます。これに25を足しているので、説明が終わりました。■

その２）○△×○▢ ➡ (○×10＋△)×(○×10＋▢) ➡ (10a+b)･(10a+c) と表現でき、
これに条件 b＋c＝10 が付きます。

a(a+1)が○と(○に１を足した数)を掛けた数です。これに100を掛けることで桁が２つずれます。これにb･cを足しているので、説明が終わりました。■

このように、なぜなのかを数式などで解明するのが数学です(※１)。最先端の研究をしている数学者は、上のように既存の事実を用いて謎を解明したり、既存の事実では解明しきれないために新しい数学を構築したりしています。私なんかは、先人の努力の結晶を鑑賞するので精一杯です。▢

【数学雑談】なぜそのように計算ができるのか（問題解決編）で動画がみられます。
（2021.3.14 9:17以降視聴可）

補遺　両方とも素人の私が言うのも何ですが、将棋と数学には似ているところがあるように思います。棋士は新手を生み出したり、新戦法を編み出したりしますね。新手に当たるのが新しい定理で、新戦法に当たるのが新しい数学の構築だと思います。
藤井猛九段の『藤井システム』は画期的でした。これに相当するのが、京都大学 望月新一氏の『宇宙際タイヒミュラー理論』でしょうか。よく知られたもので例えるなら『ガロア理論』かと思います。
「観る将」や「棋譜並べ」が私の数学鑑賞(数学書を読むこと)に当たり、「詰将棋」や「次の一手」に相当するのが入試問題や数学書の演習問題だと思います。

※１　他の分野でも似たようなことをしています。その場合、「数理」という語が付くようです。数理物理学、数理経済学など。理論物理学は数理物理学に含むものとします。尚、数学者の中にも物理との境界線を研究している人たちがいます。多分、分野というのは便宜的なものなのでしょう。「名付け」られると解かってないけど、わかった気になりますから。

85×85、47×43、69×71 のような掛け算なら、暗算できるようになります。

 85×85、47×43、69×71 「のような掛け算なら」と限定しての話です。

中学数学の雑談として以前から教えられていると思うのですが、改めて紹介します。式は３種類で、小学生にも使いやすいように次のように表現します。

いずれも二桁の掛け算です：

その１）○５×○５（中学生以上なら○５の２乗）なら、答えは

○ と (○に１を足した数) を掛けた数と25を並べる。25は5×5の答えです。

例１．85×85 ➡８×９＝72 ➡ 答えは7225．電卓などで確認してください。

例２．35×35 ➡３×４＝12 ➡ 答えは1225．

これで、15×15、55×55、95×95 もパッと出せますね。それぞれ225, 3025, 9025．

その２）○△×○▢（ただし、△＋▢＝10）なら、答えは

「○ と (○に１を足した数) を掛けた数」と「△と▢を掛けた数」を並べる。

例３．47×43 ➡４×５＝20，7×３＝21 ➡ 答えは2021．

例４．81×89 ➡８×９＝72，１×９＝９ (１桁のときは0を付けて09) ➡ 答えは7209．

コメント　気づいたと思いますが、これはその１）を含んでいます。
例えば、85×85 ➡８×９＝72，５×５＝25 ➡ 答えは7225．

その３）△０から前後に同じ１～３だけ離れている数の掛け算なら、答えは

△×△ー(離れている数)×(離れている数) です。

例５．69×71 ➡ 69 と 71 は 70 から前後に１だけ離れているから
         69×71＝70×70－１×１＝4900－１＝4899．
　　（70×70－１×１を暗算して 4899 を出します）

例６．93×87 ➡ 93 と 87 は 90 から前後に３だけ離れているから
　　　93×87＝90×90－３×３＝8100－９＝8091．

例７．202×198 ➡ 202 と 198 は 200 から前後に２だけ離れているから
         202×198＝200×200－２×２＝40000－４＝39996．

コメント　暗算ができるなら、前後に同じだけいくら離れていても使えます。

例えば、62×78＝70×70－８×８＝4900－64＝4836．

さらに、例７で示したように、桁数に関係なく使えます。

なぜこのように計算できるのか。ここからが数学です。ですが、長くなったので次回3/13に回します。▢

【数学雑談】暗算できる式とその方法（問題提起編）で動画が見られます。
（2021.3.14 9:17以降視聴可）