四角数（平方数）と数列の和

 １，４，９，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，...

が四角数です。『理一の数学事始め』の因数分解では、平方数として紹介した数です。これらは小さい方から順に、１，２，３，４，５，６，７，８，９，10,...を２乗した数です。

なぜ「四角数」と呼ばれるのか。

１×１＝１＝１，

２×２＝４＝１＋３，

３×３＝９＝１＋３＋５，

４×４＝16＝１＋３＋５＋７，

５×５＝25=１＋３+5＋７＋９，

６×６＝36＝１＋３＋５＋７＋９＋11，

............

右辺［１から順に並べた奇数の和］は真ん中の数になるのは、計算で確かめられます。左辺は真ん中の数が平方数であることを示しています。

次の図をみると、そのことがよくわかると思います：
左から順に、１、１＋３、１＋３＋５、１＋３＋５＋７を表しています。

さらに、１＋３＋５＋７＋９、１＋３＋５＋７＋９＋11と並べてみました。

碁石を１個、3個、５個、７個、…と " 」" の形に並べていくと、きれいに正方形状に並ぶことが確認できると思います。これにより、全部の碁石の個数は（１辺に並んだ碁石の個数）×（１辺に並んだ碁石の個数）で求められるます。だから、１から始まる奇数列の和は四角数であり、平方数なのです。

このことから、

　　１＋３＋５＋７＋９＋11+13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29＋31＋33

を計算するのも簡単ですね。奇数が１から順に17個ならんでいるので、17×17＝289です。

このような数の不思議を解明しようというのが、数論とか整数論と呼ばれているものです。小川洋子さんの小説『博士の愛した数式』は、その世界が描かれていますね（※１）。▢


YouTubeの動画でも説明しています。

※１　整数だからといって、整数だけを扱って研究している訳ではありません。抽象代数学(群･環･体など)を使わずに、整数の不思議を話している世界をみたいなら、

ハーディ，ライト 共著『数論入門Ⅰ，Ⅱ』（シュプリンガー数学クラシックス）

をご覧ください。

数学の本は高価なので、立ち読みか図書館で借りるなどして、気に入ったら購入し、じっくりと読んでみてください。

補遺
京大の望月氏の研究で判るように、数論の研究は整数の世界だけでは解明できないのです。整数論の研究というと、群･環･体→代数的整数論→高木類体論，複素関数論→解析的整数論→岩澤理論，代数幾何・楕円曲線論→数論幾何などがありますが、実際は、興味関心に惹かれ、研究を深めているようです。解析に秀でた同期の学生は、ζ(ｾﾞｰﾀ)関数の本を読みこなし、Riemann(リーマン)予想の解明に興味を持っていました。■

加筆
左の本は　矢野健太郎著『すばらしい数学者たち』（新潮文庫）
私が所有しているのは昭和55年版で、表紙もまったく違います。その絵は、こちらの note で見られます。ピタゴラスの章の44ページから触れられています。この本で最初に知りました。

右は　コンスタンス・レイド著『ゼロから無限へ』（ブルーバックス）
93ページからの『４の話』で触れられています。この本は、サブタイトル「数論の世界を訪ねて」から判るように、数論に興味がある人はたのしく読めると思います。