３次方程式の根の公式を導く下準備

 一般の３次方程式は

$$ax^3+bx^2+cx+d=0 \cdots (1)$$

（ただし、$a, \: b, \: c, \: d \in \mathbb{R},\: a \neq 0$）

と表すことができますが、巧みな式変形によって

$$x^3+px+q=0 \quad p, \: q \in \mathbb{R} \cdots (*)$$

のように表すことが出来、導こうとしている根の公式はこの方程式に対するものです。

ではどのように変形するかというと、$a \neq 0$ であるから $(1)$ の両辺を $a$ で割って

$$x^3+\dfrac{\:b\:}{a}x^2+\dfrac{\:c\:}{a}x+\dfrac{\:d\:}{a}=0$$

と出来ます。説明をかんたんにしたいので

$$x^3+b'x^2+c'x+d'=0 \cdots (2)$$

のように書き直します。この式から2次の項が消去できれば $(*)$ を得ます。

$x=y-\dfrac{\:b'\:}{3}$ によって未知数を変換するとうまく行きます。実際 $(2)$ に代入すると

$$\Big(y-\dfrac{\:b'\:}{3}\Big)^3+b'\Big(y-\dfrac{\:b'\:}{3}\Big)^2+c'\Big(y-\dfrac{\:b'\:}{3}\Big)+d'=0,$$

$$y^3+\Big(-\dfrac{1}{\:3\:}b'^2+c'\Big)y+\Big(\dfrac{2}{\:27\:}b'^2-\dfrac{1}{\:3\:}b'c'+d'\Big)=0$$

となり、式は込み入っていますが見事に２次の項が消去できました。この式で $y$ の係数を $p$、定数項を $q$ にし、$y$ を $x$ にして書き直したのが $(*)$ です。

ところで、どのようにして未知数の変換 $x=y-\dfrac{\:b'\:}{3}$ を得たか分かりましたか。「こうすれば上手くいく」も１つの答えですが、時間を掛ければ気づく人もいると思います。

$$(x+a)^3=x^3+3ax^2+3a^2x+a^3$$

の右辺の２次の項に着目して、$b'x^2$ を消去しようと思えば $a=-\frac{\:b'\:}{3}$ としますよね。

仕組みは単純ですが、発見するのはかんたんではありません。

まして $(1)$ が $(*)$ に変形でき、この形が一般的に解けるなんて思えますか。

上でやっていることを具体例で確認しておきましょう。

例　根から導いた方程式 $x^3+3x^2-6x-8=0$ を上の未知数の変換を用いて解いてみます。

　なお、この方程式の根は $-4, \: -1, \:2$ です。

$x=y-1$ とすると

$$(y-1)^3+3(y-1)^2-6(y-1)-8=0,$$

$$y^3-9y=0.$$

これを解くと

$$y(y+3)(y-3)=0,$$

$$y=-3, \: 0, \: 3.$$

したがって、元の方程式の根は $x=y-1$ によって

$$x=-4, \: -1, \: 2$$

となり、根が一致しています。▮

次回、３次方程式の根の公式を導きます。▢

解答解説『解けないと思っていたら･･･』

(再掲) 年賀問題2023

$$\displaystyle \sum_{k=1}^m 2^{k-1}=2023+n!$$

を満たす正の整数の組 $(m, \: n)$ をすべて求めてください。

答え　 $(m, \: n)=(11, \: 4)$.  （これ以外に存在しないことの証明が必要です）

※ noteで出題したのとは少し変えたので、｢m=11｣ になっています。

解答例
$$\displaystyle \sum_{k=1}^m 2^{k-1}=2^m-1$$

なので与えられた式は

$$2^m-2024=n!$$

と変形できます。ここで $n!>0$ より $m>10$ であり、 $2024=2^3\cdot 11 \cdot 23$ であることから $2^3$ で括って

$$2^3\cdot (2^{m-3}-11 \cdot 23)=n!.$$

右辺が階乗なので、左辺も階乗の形にならなければなりません。そこで必要条件を考えてみます。見やすいように左辺をもう少し変形してみます。

$$4\cdot 2\cdot 1\cdot (2^{m-3}-11 \cdot 23)=n!. \quad \cdots (*)$$

すると $2^{m-3}-11 \cdot 23$ が３を因数に持たなければならないことが分かります。
そこで mod 3 で考えると

$$2^{m-3} \equiv 11 \cdot 23 \equiv 1 \pmod 3 .$$

$2 \equiv -1 \pmod 3$ より

$$(-1)^{m-3} \equiv 1 \pmod 3$$

なので

$$m-3 \equiv 0 \pmod 2 ,$$

$$m \equiv 1 \pmod 2 \quad \cdots [1]$$

であることが必要です。

さらに $n \geqq 5$ で (＊) が成り立つには  $2^{m-3}-11 \cdot 23$ が５を因数に持たなければならないので

$$2^{m-3} \equiv 11 \cdot 23 \equiv 3 \pmod 5 .$$

でなければならず、$3 \equiv 8=2^3 \pmod 5$ かつ $2^4 \equiv 1 \pmod 5$ より

$$m-3 \equiv 3 \pmod 4 ,$$

$$m \equiv 6 \equiv 2 \pmod 4 \quad \cdots [2]$$

である必要があります。ところが [1], [2] を同時にみたす整数 $m$ は存在しないので、$n \geqq 5$ で (＊) が成り立つことはありません。したがって (＊) が成り立つには

$$2^{m-3}-11 \cdot 23=3$$

のときしかあり得ず

$$2^{m-3}=11 \cdot 23+3=256=2^8$$

から $m=11$ のときのみです。このとき $n=4$ です。▮

(補足) [1], [2] を同時にみたすｍが存在しない理由は、[1] を満たすｍは奇数で [2] を満たすｍが偶数だからです。

種の元
原案では $n!$ の部分を $n^2$ にしていました。これは

$$2023=1+2+2^2+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}$$

で、2023 に 25 を足せば $2048=2^{11}$ となることから

$$2023+n^2=2^m$$

と勘違いしてのものでした(※1)。

$$\displaystyle \sum_{k=1}^m 2^{k-1}=2023+n^2$$

とした場合には解が存在しなく、うまく修正も出来なかったので已む無く $n!$ にし、これを note で出題しました。$n$ を大きくするに連れて急速に $n!$ は大きくなるので、あまり検討しないまま一般的に解けないだろうと判断し１組だけ見つける形にしました。

投稿後問題が気になり、一般的に解けないだろうと思いつつ他に解をもつ条件を考えていたら解けたのです。どこかに誤りがあるだろうと思っていたのですが、見つけられなかったので急遽投稿したのです。▢

※１　この式も一般的に解けますが、これが分かったのは 2023.1.14 です。

年賀問題の種明かし

2023年の年賀問題

$$2023=m^2-n^2$$

を満たす正の整数の組 $(m, \: n)$ をすべて求めてください。

年賀問題の答え　$(m, \: n)=(68, \: 51), \: (148, \: 141), \:(1012, \: 1011).$

すべて見つけられましたか。問題のアイディアは

$$2023=7 \cdot 17^2$$

で、$7=16-9=4^2-3^2$ と出来ることから得ました。これにより

$$2023=7 \cdot 17^2=(4^2-3^2) \cdot 17^2=(4 \cdot 17)^2-(3 \cdot 17)^2$$

が得られるのでこれを一般化して問題にしました。

解説

$$7 \cdot 17^2=2023=m^2-n^2=(m+n)(m-n)$$

$m, \: n$ が正の整数なので $m+n > m-n$ です。幸い 2023 の約数がすべて奇数なので

$$(m+n, \: m-n)=(7 \cdot 17^2, \: 1), \: (17^2, \: 7), \: (7 \cdot 17, \: 17)$$

の３組を解いたのが答えになります。▮

※ １月１日１２時に投稿した『解けないと思っていたら･･･　～年賀問題2023(note版)～』の解答は１月15日に投稿予定です。

解けないと思っていたら･･･ ～年賀問題2023(note版)～

迎春2023

解けないと思っていた問題が解けたようです。

noteでは『理一の数学事始め』を書いていて、今年はnote版にも年賀問題を投稿しました。note版はそこで話した範囲で解ける問題というのが条件です。

note版に投稿した問題は当初の問題を少し変えた形で、その問題をこちらに投稿しようと考えていたのですが解が存在しないことが分かり諦めたのです。それを修正したのがnote版で、その一般的な解法が見つからなかったので「一組挙げよ」という形にしました。こちらに投稿した問題は、元々はnote版として用意していたものです。

ところが先ほど考えていたら一般的に解け･･･ました(怪しい)。問題は次の通りです：

年賀問題2023

$$\displaystyle \sum_{k=1}^m 2^{k-1}=2023+n!$$

を満たす正の整数の組 $(m, \: n)$ をすべて求めてください。

注：一般的に解けたと判断していますが、後日、もう一度その解答を見直して間違いが見つかるかもしれません。そのときは訂正の報告をします。

ちなにみ原案は次の通りです：

$$\displaystyle \sum_{k=1}^m 2^{k-1}=2023+n^2$$

を満たす正の整数の組 $(m, \: n)$ をすべて求めてください。

※ これは解を持たないというのが答えです。「解がないことを示せ」という問題は好まれないので却下しました。▢

年賀問題2023 ～みなさんにとって素敵な年になりますように～

今年も年賀問題を作ってみました。たのしんでもらえると幸いです。

年賀問題  

$$2023=m^2-n^2$$

を満たす正の整数の組 $(m, \: n)$ をすべて求めよ。

般若湯やおせちなどをお伴に気楽に考えてみてください。

2023.1.1　こと　はじめ

※１月８日９時30分に解答を公開します。

虚数の平方根？ ～高校数学、代数学、複素解析学～

 問題　$\sqrt{2\:}\: i$ と $\sqrt{2i\:}$ は等しいのか等しくないのか。
　　等しくない場合 $\sqrt{2i\:}$ はどのような複素数か $a+bi \: (a, \: b \in \mathbb{R})$ の形で表せ。

みなさんは２次方程式 $3x^2-2x+1=0$ を解いたときに

$$x=\dfrac{1 \pm \sqrt{2i}}{3}$$

というように書いてしまったがあるでしょうか。

初めて虚数単位を習ったのは中３数学でした。ルートの中身がマイナスのときには $i$ を付けて表現する方法があると教えてくれたからです。当時の学習指導要領にどう書かれていたかは知りません。ひょっとしたら、問題作成ミスでルートの中身がマイナスになるものが含まれてしまったのかもしれません。

高校で再び根の公式および虚数単位を習いルートの中身がマイナスになったときは $i$ を使って書くと教えられました。でもルートの中身がマイナスになったら $i$ を付けると覚えているだけなので $\sqrt{-2}$ を $\sqrt{2\:}\: i$ と書かずに $\sqrt{2i\:}$ と書いてしまうことがありました。理解して書いている訳ではないので、間違っているなんて思ってもいませんでした。

数学演習の時間に $\sqrt{2\:}\: i$ と $\sqrt{2i\:}$ は別の数だと指摘されて初めて認識しました。数学演習は別の教師が指導していたので説明も多少異なり

$$\sqrt{-2\:}=\sqrt{2\:}\sqrt{-1\:}=\sqrt{2\:}\: i$$

と説明されて正しい表記を覚えました(※1)。それまでは $i$ を $\sqrt{\:\:}$ のすぐ横に書いていたので、ルート記号の屋根に入ったり入らなかったりしていたのです。書き方は理解しましたが $\sqrt{2\:}\: i$ と $\sqrt{2i\:}$ がどう異なるかの説明はありませんでした。勉強嫌いの集団だったので難しい話を避けたのだと思います。この頃は質問するような生徒ではありませんでした。

ここで最初の問題になります。

                   問題　$\sqrt{2\:}\: i$ と $\sqrt{2i\:}$ は等しいのか等しくないのか。

これに答えるには $\sqrt{2i\:}$ を $a+bi \: (a, \: b \in \mathbb{R})$ のように表せれば解決します。でもここで問題が生じます。

　　　　　　　　　　　　　 $\sqrt{2i\:}$ はどういう意味なのでしょうか。

$i=\sqrt{-1\:}$ と定義していますが、これは２次方程式 $ax^2+bx+c=0 \: (a, \: b, \: c \in \mathbb{R})$ を根の公式で解いたときにルートの中身がマイナスになったときの処理方法で使うことが前提になっています。つまり、ルートの中身は実数です。虚数は想定していません。

したがって、定義しないと話が進められません。ということは高校数学の範囲では解決する術がありません。つまり $\sqrt{2i\:}$ 自体が考えられないのです。

答え　高校数学では問題自体が成り立たない。

なーんだと思いますよね。でも定義していないので仕方ありません。なお、高校数学Ⅲの複素数平面でも定義されてません。

ここから大学以降の数学になります。

代数ではルート記号は形式的なものと捉え、次のように解釈します(※2)：

　　　　　　　　　　　$\sqrt{2i\:}$ は自乗すると $2i$ となる複素数を表す。

したがって $\sqrt{2i\:}$ は２次方程式 $x^2=2i$ の根ということになります。
（注：この解釈によって２次方程式の根の公式は複素数係数でも使えます）

ここで実数 $a, \: b$ に対して

$$x=a+bi$$

と置き、 $x^2=2i$ に代入して

$$2i=(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi$$

を満たす $a, \: b$ を求めれば問題は解決します。実部、虚部を比較し

$$a^2-b^2=0 \: \text{かつ} \: 2ab=2.$$

第二式から $a, \: b$ は同符号なので、第一式から $a=b$ を得ます。

したがって

$$a=b=\pm 1.$$

よって

$$\sqrt{2i\:}=1+i \:\: \text{または} \:\: \sqrt{2i\:}=-1-i.$$

ゆえに

$$\sqrt{2\:}\: i \neq \sqrt{2i\:}. ▮$$

複素解析では次のように考えます。

$z$ を複素変数とするベキ関数 $f(z)=z^a \: (a \in \mathbb{C})$ は (複素変数の) 指数関数および対数関数を用いて次のように定義されます:

$$f(z):=e^{a \log z}=\exp(a \log z).$$

ここで、$\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}$.  特に $\sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}}$とする。

これにより

　　$\sqrt{2i\:}=(2i)^{\frac{1}{2}}=\exp({\frac{1}{2} \log 2i})$,

　　$2i=2\exp(i \frac{\pi}{2})=2\exp(i \frac{\pi}{2}) \cdot \exp(i 2n \pi)=2\exp(i (2n+\frac{1}{2}) \pi) \: (n \in \mathbb{Z})$

であるから

$$\log 2i=\log2+(2n+\frac{1}{2})\pi i ,$$

$$\frac{1}{2}\log 2i=\frac{1}{2}\log2+(n+\frac{1}{4})\pi i$$

となり

$$\sqrt{2i\:}=\exp\Big(\frac{1}{2} \log 2 +i(n+\frac{1}{4})\pi\Big)=\exp\Big(\frac{1}{2} \log 2\Big) \cdot \exp\Big(i(n+\frac{1}{4})\pi \Big)$$

              $=\sqrt{2\:}\cdot \Big(\pm\frac{1}{\sqrt{2\:}}\pm\frac{1}{\sqrt{2\:}}i\Big)=\pm 1 \pm i .$  (複合同順) 

以下略 ▮

代数と複素解析とで整合性が取れていますね。

記憶違いかもしれませんが、ルート記号を自乗すればルートの中身になる複素数と定義して$\sqrt{i\:}$ を $a+bi \: (a, \: b \in \mathbb{R})$ で表せという大学入試問題があったと思います。▢

※１　$\sqrt{-2\:}=\sqrt{2\:}\sqrt{-1\:}=\sqrt{2\:}\: i$ の説明はもっともらしいのですが、最初の等号も第二の等号も約束です。当時は何の疑いもなく受け入れていました。

$\sqrt{ab\:}=\sqrt{a\:}\sqrt{b\:}$ と出来るのは $a>0, \: b>0$ のときであり、$\sqrt{-1\:}=i$ は約束です。

※２　実数の場合は $\sqrt{▲}$ と表記すれば、自乗して▲になる正の実数を表しましたね。複素数には正負がないので、$\sqrt{▲}$ は自乗すると▲になる複素数と解釈します。つまりルート記号は形式的なものです。その意味で

$$\sqrt{▲}=▲^{1/2}$$

と指数表記します。 これは解析でも同じように使わます。

形式的に使われる例
合同式 $x^2 \equiv 2 \pmod 7$ の解を形式的に

$$x \equiv \pm \sqrt{2\:} \pmod 7$$

と書き

$$\sqrt{2\:} \equiv 3 \: \text{または} \: \sqrt{2\:} \equiv 4 \pmod 7$$

となります。

有限体 $\mathbb{F_7}$ においては

　　　　　　$\sqrt{2\:}=3, \: -\sqrt{2\:}=4$　または　$\sqrt{2\:}=4, \: -\sqrt{2\:}=3$

と書けます。どちらにするかは決めることになります。

判別式は何を判別するのか

 方程式の判別式は、本来、重根を持つか否かを判断するものです。

方程式の判別式の定義は

　　　　　　　「根の差積の平方を方程式の係数で表したもの」（※0）

が最も明快だと思うのですが...

これだと２次方程式 $ax^2+bx+c=0 \: (a, \: b, \: c \in \mathbb{C})$ の２根を $\alpha, \: \beta$ としたとき判別式 $D$ が

　　　　　　　　　　　$D=(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$

　　　　　　　　　  　  　$=\big(-\dfrac{b}{\:a\:}\big)^2-4\cdot \dfrac{c}{\:a\:}=\dfrac{\:b^2-4ac\:}{a^2}$

となり、分母に $a^2$ が残るので次のように定義されます。

方程式 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdot+a_{n-1}x+a_n=0 \: (a_i \in \mathbb{C}, \: 1 \leqq i \leqq n, \: a_0 \neq 0)$

のｎ個の根を $\alpha_1, \dots , \alpha_n$ としたとき、判別式 $D_n$ を次式で定義する(※1)：

$$D_n:=a_0^{2(n-1)}\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)^2.$$

例　$D_3=a_0^{2(3-1)}\displaystyle \prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$

            $=a_0^4(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_1-\alpha_3)^2(\alpha_2-\alpha_3)^2$.

判別式で差積を平方しているのは、平方しないと交代式ですが平方すると対称式になり基本対称式で表せるからです。つまり、方程式の係数で判別式を表すことができることが理由です。

                 定理　対称式は基本対称式を用いて表すことができる。▮

判別式の定義式をみると、方程式が重根を持つために必要十分条件は判別式が０であることが分かります：重根を持つ  $\iff \: D_n=0$.

特に、実数係数の２次方程式のとき判別式 $D_2$ と根の関係は
                                   $D_2>0 \: \iff$  異なる２実根,
                                   $D_2=0 \: \iff$  重根(実根),
                                   $D_2<0 \: \iff$  共役な２虚根.

さらに、実数係数の３次方程式のとき判別式 $D_3$ と根の関係は
                                   $D_3>0 \: \iff$  異なる３実根,
                                   $D_3=0 \: \iff$  ２重根または３重根(実根),
                         　　    $D_3<0 \: \iff$  １実根と共役な２虚根.

このような結果(※2)があると、４次以上の方程式の判別式でも同じような結果が成り立つことを期待してしまいます。ところが結果は否定的です。

例１　４次方程式 $x^4-1=0$ を解くと

　　　　$$0=x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1),$$
　　　　  $$x^2-1=0, \quad x^2+1=0.$$

よって

　　　　　　　　　　　$x=\pm 1, \: \pm i$ ($i$ は虚数単位) となる。

このとき判別式 $D_4$ は

$D_4=\big(1-(-1)\big)^2(1-i)^2\big(1-(-i)\big)^2\big((-1)-i\big)^2\big((-1)-(-i)\big)^2\big(i-(-i)\big)^2$
　　　　　　$=2^2(1-i)^2(1+i)^2(-1-i)^2(-1+i)^2(2i)^2$
　　　　　　$=2^2\big((1-i)(1+i)\big)^2\big((-1-i)(-1+i)\big)^2(2i)^2<0$.

（共役な複素数の積はプラス、純虚数の平方はマイナスであるから）

つまり、判別式がマイナスでも実根をもつ。▮

例２　４次方程式 $x^4+1=0$ を解くと
　　　$$0=x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-\sqrt{2}\: x)(x^2+1+\sqrt{2}\: x).$$

$$x^2-\sqrt{2}\: x+1=0, \: x^2+\sqrt{2}\: x+1=0$$

を根の公式を用いて解くと

$$x=\pm \dfrac{\:\sqrt{2}\:}{2} \pm \dfrac{\:\sqrt{2}\:}{2} \: i.$$

ここで、$a:=\dfrac{\:\sqrt{2}\:}{2}$ と置くと、４つの根は

$$a+ai, \: a-ai, \: -a+ai, \: -a-ai$$

と書けます。先に６つの差を計算すると

　　　　　　　　　　$(a+ai)-(a-ai)=2ai$,

　　　　　　　　　　$(a+ai)-(-a+ai)=2a$,

　　　　　　　　　　$(a+ai)-(-a-ai)=2a+2ai$,

　　　　　　　　　　$(a-ai)-(-a+ai)=2a-2ai$,

　　　　　　　　　　$(a-ai)-(-a-ai)=2a$,

　　　　　　　　　　$(-a+ai)-(-a-ai)=2ai$

したがって判別式 $D_4$ は

$D_4=(2ai)^2(2a)^2(2a+2ai)^2(2a-2ai)^2(2a)^2(2ai)^2$

   $=(2ai)^2(2a)^2\big((2a+2ai)(2a-2ai)\big)^2(2a)^2(2ai)^2>0$

（共役な複素数の積はプラス、純虚数の平方はマイナスで２つあるから）

例を提示しませんが、４つの実根をもつ４次方程式の判別式はプラスです。つまり、判別式がプラスであっても４つの根が実数の場合もあるし、虚数の場合もあるのです。▮

一般に判別式で実根か虚根かの判断はできません。２次、３次方程式は特殊なのです。▢

※０　差積は差の積なので $(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4) \cdot (x_1-x_n)$ のような式です。３つの根の差積なら $(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_3)$.

このような差積を表すのに便利な記号が総積記号 $\prod$ です。総和記号 $\sum$ に似ています。

※１　多くの場合多項式の係数は有理数･実数･複素数のような体(ﾀｲ)で考えるのだから、最高次の係数で割って最高次の係数が１のモニック多項式で考えることもできますが、整数(環)係数の多項式を考えてのことなのかと思います。

※２　２次方程式の場合は高校数学で学んでいるので問題ないのですが、３次方程式の場合は証明する必要があります。証明するなら右から左をそれぞれ示し、これらですべての場合を尽くしているので逆向きも成り立つことが言えます。このとき、実数係数の方程式が虚根をもつならこれと共役な虚数も根であることを事実として用います。