判別式は何を判別するのか

 方程式の判別式は、本来、重根を持つか否かを判断するものです。

方程式の判別式の定義は

　　　　　　　「根の差積の平方を方程式の係数で表したもの」（※0）

が最も明快だと思うのですが...

これだと２次方程式 $ax^2+bx+c=0 \: (a, \: b, \: c \in \mathbb{C})$ の２根を $\alpha, \: \beta$ としたとき判別式 $D$ が

　　　　　　　　　　　$D=(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$

　　　　　　　　　  　  　$=\big(-\dfrac{b}{\:a\:}\big)^2-4\cdot \dfrac{c}{\:a\:}=\dfrac{\:b^2-4ac\:}{a^2}$

となり、分母に $a^2$ が残るので次のように定義されます。

方程式 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdot+a_{n-1}x+a_n=0 \: (a_i \in \mathbb{C}, \: 1 \leqq i \leqq n, \: a_0 \neq 0)$

のｎ個の根を $\alpha_1, \dots , \alpha_n$ としたとき、判別式 $D_n$ を次式で定義する(※1)：

$$D_n:=a_0^{2(n-1)}\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)^2.$$

例　$D_3=a_0^{2(3-1)}\displaystyle \prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$

            $=a_0^4(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_1-\alpha_3)^2(\alpha_2-\alpha_3)^2$.

判別式で差積を平方しているのは、平方しないと交代式ですが平方すると対称式になり基本対称式で表せるからです。つまり、方程式の係数で判別式を表すことができることが理由です。

                 定理　対称式は基本対称式を用いて表すことができる。▮

判別式の定義式をみると、方程式が重根を持つために必要十分条件は判別式が０であることが分かります：重根を持つ  $\iff \: D_n=0$.

特に、実数係数の２次方程式のとき判別式 $D_2$ と根の関係は
                                   $D_2>0 \: \iff$  異なる２実根,
                                   $D_2=0 \: \iff$  重根(実根),
                                   $D_2<0 \: \iff$  共役な２虚根.

さらに、実数係数の３次方程式のとき判別式 $D_3$ と根の関係は
                                   $D_3>0 \: \iff$  異なる３実根,
                                   $D_3=0 \: \iff$  ２重根または３重根(実根),
                         　　    $D_3<0 \: \iff$  １実根と共役な２虚根.

このような結果(※2)があると、４次以上の方程式の判別式でも同じような結果が成り立つことを期待してしまいます。ところが結果は否定的です。

例１　４次方程式 $x^4-1=0$ を解くと

　　　　$$0=x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1),$$
　　　　  $$x^2-1=0, \quad x^2+1=0.$$

よって

　　　　　　　　　　　$x=\pm 1, \: \pm i$ ($i$ は虚数単位) となる。

このとき判別式 $D_4$ は

$D_4=\big(1-(-1)\big)^2(1-i)^2\big(1-(-i)\big)^2\big((-1)-i\big)^2\big((-1)-(-i)\big)^2\big(i-(-i)\big)^2$
　　　　　　$=2^2(1-i)^2(1+i)^2(-1-i)^2(-1+i)^2(2i)^2$
　　　　　　$=2^2\big((1-i)(1+i)\big)^2\big((-1-i)(-1+i)\big)^2(2i)^2<0$.

（共役な複素数の積はプラス、純虚数の平方はマイナスであるから）

つまり、判別式がマイナスでも実根をもつ。▮

例２　４次方程式 $x^4+1=0$ を解くと
　　　$$0=x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-\sqrt{2}\: x)(x^2+1+\sqrt{2}\: x).$$

$$x^2-\sqrt{2}\: x+1=0, \: x^2+\sqrt{2}\: x+1=0$$

を根の公式を用いて解くと

$$x=\pm \dfrac{\:\sqrt{2}\:}{2} \pm \dfrac{\:\sqrt{2}\:}{2} \: i.$$

ここで、$a:=\dfrac{\:\sqrt{2}\:}{2}$ と置くと、４つの根は

$$a+ai, \: a-ai, \: -a+ai, \: -a-ai$$

と書けます。先に６つの差を計算すると

　　　　　　　　　　$(a+ai)-(a-ai)=2ai$,

　　　　　　　　　　$(a+ai)-(-a+ai)=2a$,

　　　　　　　　　　$(a+ai)-(-a-ai)=2a+2ai$,

　　　　　　　　　　$(a-ai)-(-a+ai)=2a-2ai$,

　　　　　　　　　　$(a-ai)-(-a-ai)=2a$,

　　　　　　　　　　$(-a+ai)-(-a-ai)=2ai$

したがって判別式 $D_4$ は

$D_4=(2ai)^2(2a)^2(2a+2ai)^2(2a-2ai)^2(2a)^2(2ai)^2$

   $=(2ai)^2(2a)^2\big((2a+2ai)(2a-2ai)\big)^2(2a)^2(2ai)^2>0$

（共役な複素数の積はプラス、純虚数の平方はマイナスで２つあるから）

例を提示しませんが、４つの実根をもつ４次方程式の判別式はプラスです。つまり、判別式がプラスであっても４つの根が実数の場合もあるし、虚数の場合もあるのです。▮

一般に判別式で実根か虚根かの判断はできません。２次、３次方程式は特殊なのです。▢

※０　差積は差の積なので $(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4) \cdot (x_1-x_n)$ のような式です。３つの根の差積なら $(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_3)$.

このような差積を表すのに便利な記号が総積記号 $\prod$ です。総和記号 $\sum$ に似ています。

※１　多くの場合多項式の係数は有理数･実数･複素数のような体(ﾀｲ)で考えるのだから、最高次の係数で割って最高次の係数が１のモニック多項式で考えることもできますが、整数(環)係数の多項式を考えてのことなのかと思います。

※２　２次方程式の場合は高校数学で学んでいるので問題ないのですが、３次方程式の場合は証明する必要があります。証明するなら右から左をそれぞれ示し、これらですべての場合を尽くしているので逆向きも成り立つことが言えます。このとき、実数係数の方程式が虚根をもつならこれと共役な虚数も根であることを事実として用います。