解けないと思っていたら･･･ ～年賀問題2023(note版)～

迎春2023

解けないと思っていた問題が解けたようです。

noteでは『理一の数学事始め』を書いていて、今年はnote版にも年賀問題を投稿しました。note版はそこで話した範囲で解ける問題というのが条件です。

note版に投稿した問題は当初の問題を少し変えた形で、その問題をこちらに投稿しようと考えていたのですが解が存在しないことが分かり諦めたのです。それを修正したのがnote版で、その一般的な解法が見つからなかったので「一組挙げよ」という形にしました。こちらに投稿した問題は、元々はnote版として用意していたものです。

ところが先ほど考えていたら一般的に解け･･･ました(怪しい)。問題は次の通りです：

年賀問題2023

$$\displaystyle \sum_{k=1}^m 2^{k-1}=2023+n!$$

を満たす正の整数の組 $(m, \: n)$ をすべて求めてください。

注：一般的に解けたと判断していますが、後日、もう一度その解答を見直して間違いが見つかるかもしれません。そのときは訂正の報告をします。

ちなにみ原案は次の通りです：

$$\displaystyle \sum_{k=1}^m 2^{k-1}=2023+n^2$$

を満たす正の整数の組 $(m, \: n)$ をすべて求めてください。

※ これは解を持たないというのが答えです。「解がないことを示せ」という問題は好まれないので却下しました。▢