置換と互換と交代群 ～この話はどこに向かっていくのか⑤～

集合 $X=\{1, \: 2, \: 3, \: 4 \}$ に対して、置換 $\sigma : X \rightarrow X$ は

$$\sigma =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3 \quad 4}{3 \quad 1 \quad 4 \quad 2}$$

のように表現し、このとき $\sigma(1)=3, \: \sigma(2)=1, \: \sigma(3)=4, \: \sigma(4)=2$ です。

ｎ次対称群 $S_n$ の元を置換といいましたが、置換の中には

$$\tau =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3 \quad 4}{3 \quad 2 \quad 1 \quad 4}$$ 　（$\tau$ はギリシャ文字の小文字でタウと読みます）

のように１と３だけを交換し、他は変えないものもあります。このような置換を互換(ゴカン)といい、単に $(1 \:\: 3)$ と書いて表現します。互換 $\tau=(1 \:\: 3)$ の逆置換 $\tau^{-1}$ は $(1 \:\: 3)$ です。
（もちろん $(3 \:\: 1)$ と書いてもいいです。同じなのだから見やすい表現をします）

命題１　$S_n \: (n \geqq 2)$ の任意の置換は互換の積で表せる．▮

きちんと証明をしようとすると、帰納法で示すことになります。ここではどのようにして互換の積で表せるかを見てもらいます。

互換の積の表し方は他にもあります。

このように互換の表し方に一意性はないのですが、互換の個数には不変性があります。上の例では互換の積が３個または５個の奇数個です。

命題２　互換の積の個数が奇数か偶数かは与えられた置換によって決まる．▮

これを示すのに差積 $\Delta (x_1, \: x_2, \: x_3, \: \dots, x_n)$ を導入します(※1)。

  $\Delta (x_1, x_2, x_3, \dots, x_n):=(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})(x_n-x_{n-3})\cdots (x_n-x_1)$
　　　　　　　　　　　　　　　  　　$\cdot (x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})\cdots (x_n-x_1)$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　　$\cdots$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  $\cdot (x_3-x_2)(x_3-x_1)$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  $\cdot (x_2-x_1)$

これは交代式(※2)です。分かりやすく $n=4$ の場合を考えます。

　　　　   $\Delta (x_1, x_2, x_3, x_4)$
 　　　  $=(x_4-x_3)(x_4-x_2)(x_4-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)$.

 交代式は任意の互換によって符号が反対になる式のことです。実際 $\sigma=(1 \:\: 2)$ に対して

　　　$\sigma \Delta (x_1, x_2, x_3, x_4):=(x_{\sigma(4)}-x_{\sigma(3)})(x_{\sigma(4)}-x_{\sigma(2)})(x_{\sigma(4)}-x_{\sigma(1)})$
                                         $\cdot (x_{\sigma(3)}-x_{\sigma(2)})(x_{\sigma(3)}-x_{\sigma(1)})(x_{\sigma(2)}-x_{\sigma(1)})$
    $=(x_4-x_3)(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_1-x_2)$
    $=-(x_4-x_3)(x_4-x_2)(x_4-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)$
    $=-\Delta (x_1, x_2, x_3, x_4)$. ▮

他の互換でも確認してみてください。互換による符号の変化が分かれば一般の場合も同じなので気づくと思います。

では命題２を示します。
与えられた置換 $\sigma$ を互換の積に表したものを考えます。互換の積表現に一意性はないので、互換の積表現の任意の２つを $\sigma_1, \: \sigma_2$ とし、それぞれの互換の個数を $k, \: m$ とします。

$$\sigma_1\Delta (x_1, x_2, x_3, \dots, x_n)=(-1)^k\Delta (x_1, x_2, x_3, \dots, x_n),$$

$$\sigma_2\Delta (x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)=(-1)^m\Delta (x_1, x_2, x_3, \dots, x_n).$$

したがって $\sigma_1=\sigma=\sigma_2$ より

$$(-1)^k=(-1)^m$$

となり、互換の個数の偶奇は一致する.▮

注：$(-1)^k=(-1)^m$ から $k=m$ は言えません。

このことから置換の結果が

$$\sigma\Delta (x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)=\Delta (x_1, x_2, x_3, \dots, x_n)$$

となったら σ を偶置換といい

$$\sigma\Delta (x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)=-\Delta (x_1, x_2, x_3, \dots, x_n)$$

となったら σ を奇置換という。偶置換のときの互換の積の個数は偶数で、奇置換のときの互換の積の個数は奇数です。差積が互換によって符号が反対になることから解ります。置換によって差積は符号だけが変化するので、置換の符号を定義することができます(※3)。

最後に、偶置換全体は群を成し、これを交代群(alternating group)と呼びます。交代群は交代式である差積の符号を保存する置換全体です。ｎ次交代群は $A_n$ で表します(※4)。▢

※１　Δ(デルタ)は差積(difference product)の頭文字ｄに相当するギリシャ文字の大文字です。差積は判別式の定義でも出てくる大切な概念の一つです。

※２　交代式は任意の互換で符号が反対になりますが、任意の互換で不変な式を対称式といいます。基本対称式については 『数学事始め』22.03 をご覧ください。

※３　置換 $\sigma$ の符号を記号 $\mathrm{sgn} \: \sigma$ で表します。sgn は sign (サイン、符号) のことです。線形代数でも符号を定義します。ここでは深入りしませんが、$S_n, \: A_n, \: mathrm{sgn}$ にある関係が成り立ちます。

※４　群であることを確認するには、①演算で閉じているか ②結合律を満たすか ③単位元の存在 ④逆元の存在の４つをみます。①は互換の個数で考えると分かります。結合律は対称群の部分集合であることから解ります。単位元 $1_X=(1  2)(1  2) \in A_n$ です。逆元は注意してください。互換の積表現の部分にヒントがあるのですが、$(\sigma \tau)^{-1}=\tau^{-1}\sigma^{-1}$ です。

置換 ～線形代数で注意すること 代数学入門～

この話は写像から始まりました。前回は自分自身への全単射(双射)全体が合成 ∘ を演算として群を成す(対称群)ことを前提にし、集合の元の個数がｎ個の有限集合のときｎ次対称群と呼び、その群の位数を考えました。ｎ次対称群の元を置換と呼ぶことも紹介しました。

置換は線形代数で行列式を定義するときに現れるのが最初ではないかと思います。でも置換を忘れてしまっても特に困ることはありません。毎回、行列式の定義に戻って計算するということがないからです。

３次対称群 $S_3$ を考えます。

$\sigma, \: \tau \in S_3$ に対して （$\sigma$ はシグマ、$\tau$ はタウと読み、ギリシャ文字の小文字）

$$\sigma =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}, \: \tau =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 3 \quad 1}$$

とします。このとき置換の合成 $\tau \circ \sigma$ はどうなっているでしょうか。$(\tau \circ \sigma)(1)$ がどうなるかを考えてみましょう。

$$(\tau \circ \sigma)(1)=\tau (\sigma(1))=\tau(2)=3$$

$\sigma$ によって $1 \mapsto 2$ となり、$\tau$ によって $2 \mapsto 3$ となるからです。同様に考えて

$$(\tau \circ \sigma)(2)=2, \: (\tau \circ \sigma)(3)=1$$

となるので

$$\tau \circ \sigma =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 3 \quad 1}\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{3 \quad 2 \quad 1}$$

となります。
何に注意してほしいかというと、合成の順番です。写像の話からはじまってｎ次対称群の話をしているので上の計算は自然に感じると思うのですが、$\sigma$ を計算してから $\tau$ を計算します。写像であることを意識しないと、書いてある順に計算しがちです。私がこの感覚に慣れたのは代数学を学んでからでした。

多くの場合、置換は左から作用させることの方が多いのですが、右から作用させることもあるので、その本や話者の説明を聞き洩らすと間違えてしまいます。こういうところに代数らしさを感じます。

上と同じ

$$\sigma =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}, \: \tau =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 3 \quad 1}$$

に対して $\sigma \circ \tau, \:\: \sigma ^{-1} \circ \tau \circ \sigma$ はどうなるでしょうか。

$$\sigma \circ \tau=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 3 \quad 1}=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{1 \quad 3 \quad 2}.$$

   $\sigma ^{-1}$ は逆置換なので、$\sigma ^{-1}=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}^{-1}=\dbinom{2 \quad 1 \quad 3}{1 \quad 2 \quad 3}=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}$.

したがって、最初の $\tau \circ \sigma$ の結果も用いて

$$\sigma ^{-1} \circ \tau \circ \sigma=\sigma ^{-1} \circ (\tau \circ \sigma)=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{3 \quad 2 \quad 1}=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{3 \quad 1 \quad 2}.$$

※ 答え方はいろいろあると思いますが、上と下が対応しているのが肝心です。たまたま今の場合は、$\sigma ^{-1}=\sigma$ でした。 一般には、$\sigma ^{-1}\neq \sigma, \: \tau \circ \sigma \neq \sigma \circ \tau$ です。

大学以降の数学をする場合には、可換でないことの方が多くなるので注意してください。また順番にも気を付けてください。たぶん、線形代数を学びながら徐々に修得していくものなのだと思います。▢

写像と対称群 特にｎ次対称群 ～この話はどこに向かっていくのか④～

当初の目的地まで辿り着きました。

集合 $A \: (\neq \varnothing)$ から自分自身への全単射(双射)全体を考え、それを $S(A)$ と書くことにします。恒等写像 $1_A$ はこれを満たすので $S(A) \neq \varnothing$ です。

　　　　　　　　　　　$S(A):=\{f:A \longrightarrow A \mid 全単射 \}$.

この集合 $S(A)$ は合成 $\circ$ を二項演算として群を成し、対称群と呼ばれています(※1)。

特に、集合 $A$ が有限集合で、その元の個数がｎ個であるときｎ次対称群と呼び、記号 $S_n$ または $\mathfrak{S}_n$ などで表されます(※2)。

［数学用語］
群 $G$ の元の個数が有限のとき有限群といい、その群 $G$ の元の個数は位数(イスウ)と呼ばれ、記号 $|G|, \: \#(G)$ などで表されます。

（ここからが本題）

ｎ次対称群 $S_n$ の位数を調べてみます。

$n=1$ のとき、$A=\{a\}$ なので $1_A:a \mapsto a$ だけです。

よって $S_1=\{1_A\}$ であり、$|S_1|=1$.

$n=2$ のとき、$A=\{a, \; b \}$ なので

　　　　　　$1_A:a \mapsto a, \: b \mapsto b$　　または　　$f:a \mapsto b, \: b \mapsto a$

の２つが考えられます。

よって $S_2=\{1_A, \: f \}$ であり、$|S_2|=2$.

では、$n=3$ のとき $|S_3|$ の値を考えてみてください。

ここで、説明のために記号を導入します。
考えている集合が有限集合なので $\{a, \: b, \: c \}$ よりも $$\{a_1, \: a_2, \: a_3 \}$$ という表記の方が便利です。こうすれば $n=4, \: 5, \: 6,...$ となっても新たに記号を選ぶことなく使えます。そうすると全単射による対応もうまく工夫できます。

例えば、$a_1 \mapsto a_2, \: a_2 \mapsto a_3, \: a_3 \mapsto a_1$ という対応を $$\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 3 \quad 1}$$

で表すことにします。上の段と下の段がその対応を表します。１の下が２なので $$a_1 \mapsto a_2$$

を表していると約束するのです。便宜的に導入したように見えますがこの記号は一般に使われを置換(チカン)と呼びます(※3)。置換を表すときにはギリシャ文字の $\sigma, \: \tau, \: \rho$ などが使われます。 


例えば、$\sigma =\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}$ であれば、                              $$\sigma(1)=2, \: \sigma(2)=1, \: \sigma(3)=3$$

となります。

説明の準備ができたので、先ほどの答えをいいます。$|S_3|=6$ です。

解説　集合 $A=\{a_1, \: a_2, \: a_3\}$ のとき、全単射は次の通りです:

$$1_A=\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{1 \quad 2 \quad 3}, \: \dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 3 \quad 1}, \: \dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{3 \quad 1 \quad 2},$$

$$\dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{2 \quad 1 \quad 3}, \: \dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{3 \quad 2 \quad 1}, \: \dbinom{1 \quad 2 \quad 3}{1 \quad 3 \quad 2}$$

の６個です。この数は $3!$ です。なぜなら、$1, \: 2, \:3$ の対応先は これら $1, \: 2, \:3$ を並び換えたものです。３個の数の並び換えなので 階乗 が使えるのです。▮

上の解説によって、４次対称群 $S_4$ の位数は $|S_4|=4!$ です。これは一般化できｎ次対称群 $S_n$ の位数は $|S_n|=n!$ です。

ｎ次対称群や置換と最初に出会うのは線形代数の行列式だと思います。群も一緒に紹介されるかもしれませんが、線形代数の最初は計算の修得に力を入れましょう。▢

※１　群であることを確認するには次を示します。
　　① 写像の合成が閉じている：$f, \: g \in S(A)$ に対して $g \circ f \in S(A)$.
　　② 結合律が成り立つ：$f, \: g, \: h \in S(A)$ に対して $(f \circ g) \circ h=f \circ (g \circ h)$.
　　③ 単位元の存在：恒等写像 $1_A$ が単位元に相当し、$1_A \circ f=f \circ 1_A=f$.
　　④ 逆元の存在：逆写像 $f^{-1}$ が逆元に相当し、$f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f=1_A$.

群に関しては「代数学 群の紹介」、①～④は前回の内容が参考になります。

※２　対称群は symmetric group なので S が使われます。$\mathfrak{S}$(エス) はドイツの飾り文字で、ドイツ文字を使っているのは文字 S が他の意味で使われることが多く区別したいからです。高校生が $S_n$ をみたら 初項から第ｎ項までの数列の和 だと思いますね。

※３　ｎ次対称群 $S_n$ の元をｎ次の置換と呼びます。なのでここで紹介した置換は３次の置換です。もちろん全単射の写像です。

写像(逆写像、合成) ～この話はどこに向かっていくのか③～

前回触れようかどうか迷ったのですが、混乱を招くと思い書かなかったことから始めます。

全射、単射、全単射(双射)は抽象的で何がうれしいのか学びを進めないと感じられないと思いますが、もしも写像が全単射であれば逆の対応が考えられます。

写像 $f:A \longrightarrow B$ が全単射であるということは、２つの集合 $A, \: B$ の各元が１対１に対応するということです。なぜなら、全射であることから $A$ の元が満遍なく $B$ に対応し、単射であることから $B$ のどんな元を考えても対応している $A$ の元は１つだけだからです。

最後の部分が怪しく感じますか。それなら任意に $b \in B$ を考えて、これに対応している元が２つ $a, \: a' \in A$ あるとしましょう。つまり $b=f(a)=f(a')$ です。でも単射なのだから $a=a'$ となります。別の元が対応していると思ったらその元は等しかったのです。

これにより写像 $f:A \ni a \mapsto b \in B$ に対し、逆対応 $B \ni b \mapsto a \in A$ が考えられます。この逆対応を元の写像に対する逆写像といい、記号 $f^{-1}$ で表します。逆対応が写像になっていることと全単射であることは各自で確認してください(※0)。

注：$f^{-1}$ は、$f$ の逆写像 または $f$ inverse (f インヴァース) と読みます(※1)。$f$ の -1 乗と読んでしまったら違う意味に取られます。inverse は 逆 の意の英語です。

例（指数関数・対数関数）
指数関数 $f:\mathbb{R} \ni a \mapsto 2^a \in \mathbb{R}$ は単射ですが、終域を $\mathbb{R_{>0}}$ とすれば全単射になります。したがって逆写像を考えることができ、それが対数関数です。

　　　　 $f^{-1}:\mathbb{R_{>0}} \ni b \mapsto c \in \mathbb{R}$ （ただし、$c$ は $b=2^c$ を満たす実数）

も全単射であり、$f^{-1}$ を $\log_2$ と書きました。関数を意識した書き方をすれば

　　　　　　　　　　　　　　　　 $y=\log_2(x)$

ですが、ふつうは $y=\log_2x$ と書きます. ▮

注：逆関数は高校数学Ⅲで学びますが、逆関数を求める問題は元の関数が全単射であることが前提になっています。問題文に「逆関数を求めよ」と書かれているので気にしなかったと思いますが、出題者は確認しているはずです。

次に、３つの集合 $A, \: B, \: C \: (\neq \varnothing)$ と２つの写像 $f:A \rightarrow B, \: g:B \rightarrow C$ が与えられているとします。このとき $a \in A$ をとると

　　　　　　　　　　$a \mapsto b \mapsto c$.  ただし、$b=f(a), \: c=g(b)$

が考えられます。２つの写像によって $A \ni a \mapsto c \in C$ という対応を得ますが、これを写像 $f, \: g$ の合成といい $g \circ f$ と書きます。$c=g(b)=g\big(f(a) \big)$ であるから

                                        $(g \circ f)(a)=g\big(f(a) \big)$　　（★）

が成り立ち、$g \circ f:A \longrightarrow C$ です。

注：$g \circ f$ は $f$ の次に $g$ が作用していることを表します。高校数学までは交換可能であることが多かったのですが、大学以降の数学は順序にも気を使います。$a-b$ と $b-a$ が異なったように、 $g \circ f$ と $f \circ g$ は一般には異なります。

例（写像の合成）
関数 $f, \: g:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ を

                                       $f(x)=x^2, \: g(x)=x+1$

とします。このとき

                       $\big(g \circ f\big)(x)=g\big(f(x)\big)=g(x^2)=x^2+1$,

                       $\big(f \circ g\big)(x)=f\big(g(x)\big)=f(x+1)=(x+1)^2$

となるので、$g \circ f \neq f \circ g$ です。▮

注：$f:A \longrightarrow B$ と $g:A \longrightarrow C$ に対して

$f=g$ とは、すべての $a \in A$ に対して $f(a)=g(a)$ であるということです。
（関数が等しいとは、すべての元に対して関数の値が等しいということです）

一方

$f \neq g$ とは、$f(a) \neq g(a)$ となる $a \in A$ があるということです。
（関数が等しくないとは、関数の値が等しくない元が存在するということです）

上の例で $g \circ f \neq f \circ g$ であるのは、$(g \circ f)(0)=1=(f \circ g)(0)$ なのですが $(g \circ f)(1)=2 \neq 4=(f \circ g)(1)$ だからです(※2)。▮

最後に合成写像に関する結果だけを紹介しておきます。

命題　４つの集合 $A, \: B, \: C, \: D \: (\neq \varnothing)$ と３つの写像 $f:A \rightarrow B, \: g:B \rightarrow C, \: h:C \rightarrow D$ が与えられているとします。このとき次の結合律が成り立つ： 

                                 $(f \circ g) \circ h=f \circ (g \circ h)$. ▮（※3） 

注：この命題が主張しているのは、合成の順序に依らないということです。

実数上の関数を３つ考えて具体例を作り、命題が成り立っていることを確認してみてください。数学の本を読むときには、こういうことをしながら読み進めるので、小説を読むようにスラスラとはいかないのがふつうです。このように例を考えることで理解が深まります。その挙げる例も学びが進むといろいろなものが考えられるようになり、これも数学をたのしむ一つです。▢

※０　定義を思い出すか、「関数と写像」「全射、単射、双射」をご覧ください。

※１　英語では inverse of f と読むようです。
　　　参考文献：数学 英和･和英辞典（共立出版社）

※２　等号は乱用されますが、対象(数、集合、写像など) によって意味が異なるので注意してください。最初は大変だと思いますが、常に注意を払っているといつの間にか慣れているものです。最初が適当だと、後から大混乱します。

※３　証明は略しますが、"関数が等しい" ことを示せばいいので、任意の元 $a \in A$ を仮定して左辺、右辺をそれぞれ (★) を使って計算して等しくなることを確認すれば終わりです。