（2021.2.10 正午 一部加筆 ※６）
数学科もしくは理工系の大学１、２年生が学ぶ「群」について少しだけ触れます。ここで躓いてしまった人に向けての内容にもなっています。整数論やGalois理論(ガロア理論)に興味があるのなら、必ずいつかは扱う内容です。
先日まで note で話をしていた「マイナスの整数」で、引き算を「負の整数」を加えることで定義したのも、この「群」を意識してのことです。この概念によって、整数は整備されたのです。（※１）
「自然数」がどのような数なのかを指導するとき、「あなたが『おぎゃー』って泣いてこの世に生まれてきてから、最初に認識した数は何ですか」と聞きます。
多くは 1，2，3，... と答えてくれますが、１割くらいは「０」と答えてくれます。「天才！」です。あなたなら、何と答えてくれましたか。この「０」の発見で、人類はどれほどの恩恵を受けたのでしょうか。（※２）
日本の学校教育では、自然数は１，２，３，４，５，... と教えます。
数学をやっていると自然数に「０」を含めた零以上の整数とすることがよくあり、私も零を含めて考えがちです。なので、数学書を読むときには注意しています。
この自然数（正の整数）の世界では、足し算することができます。任意に２つの数を選んできて足し合わせると、その数はまたその世界の中にあります。（※３）
ということなら、７+▢＝10というのも考えたくなりますね。
えっ、なりませんか。
10個の栗饅頭を買ってきたのに、テーブルの上には7個しかありません。きっと、のび太君が何個か食べたに違いありません。
こういうときに、「何個」の代わりに▢を使えば、７+▢＝10という式になりますね。これくらいだったら、「かんたんだよ」と言われてしまいそうですが、遊び心は大切です。遊びを愉しむことで、世界が拡がったりします。厳めしい顔をしていると、幸せは逃げてしまいますよ。
夢の中で、はいだしょうこさんの歌う『夢をかなえてドラえもん』が聞こえてきます。
ドラえもんのポケットからは、いくらでも自然数が出てきます。違う数もあれば同じ数もあります。ではその四次元ポケットから、任意に２つの数を取り出してみましょう。自然数は２つの数を足し合わせてもそのポケットの中にその２数の和が見つかるのですから、△＋▢＝○を考えて、１つを△、もう１つを○に当てはめて、残りの▢に当てはまる数をポケットからみつける遊びをしましょう。
例えば、△＝３、○＝５であれば、３＋▢＝５となるので、２を見つければいいですね。
２数を取り出したら、６と６でした。つまり、６+▢＝６となります。これに当てはまる▢は見つけられるでしょうか。ありません。自然数だけではこういうことがあります。自然数に「０」を含めておけばよかったですね。
もう少し、続けてみましょう。２数を取り出したら７と５です。順に△、○に当てはめてみると、7+▢＝５となります。このような▢はポケットの中にみつかるでしょうか。０が入っていても見つけられませんね。
そこでドラえもんは考えました。横棒を数の前にくっつけたものをつくりだしたのです。
こうすると、どのように選んでも、どのように当てはめても、いつでも必ず一つ、▢に当てはまる数がみつけられるようになったのです。
どこからか、はいだしょうこさんの歌声が聞こえてきます：『君をのせて』
「さあ出かけよう 数学の本 えんぴつノート鞄に 詰め込んで～♪」
ここからが今回の主題です。枕が長い柳家喬太郎さんの落語「コロッケそば」のようです。
夢から覚め、夢の内容を代数の「群」を使って説明してみます（※４）
自然数の集合をNと名付けます。Nから任意に２つ a, bを選び、演算「＋」を考えることにします。このとき、a+bの結果は再びNに入っています。
では次に、Nから任意に3つ a, b, c を選び、(a+b)+c と a+(b+c) を考えてみると、両方の結果は等しくなります。
次に、Nから任意に a を選んだとき、a+e=e+a=a を満たす e がNの中に見つかるでしょうか。残念ながら見つかりません。だから、Nは群ではありません。
でも、G1まではいえたので、半群と呼ばれます。
「０」を含めた自然数を考えるとG2までいえますね。e に相当するのが０です。でもG3がいえないので、やはり群ではありません。でもモノイドと呼ばれます。
負の整数まで含めた世界「整数」を考えると、G3もいえて３つの条件をすべて満たします。だから「群」です。整数は一般にZで表されます。（※５）
ここまでくると足し算を自由に考えることができます：a＋x＝b をみたすｘはただ一つ見つかり、aとbに依存するので、それをb－a と書くことにします（※６）。では、そのようなｘを見つけてみると、b+(-a) がそれに当たります。実際、
a+(b+(-a))=a+((-a)+b)=(a+(-a))+b=0+b=b となるので、a+x=bを満たします。そのようなｘはただ一つなので、b－a=b+(-a)ということです。
最後の議論と似たことを、高校数学Bのベクトルでもやっているようです。大学に入って、このような議論を最初に学ぶのは、抽象代数学ではなく、線形代数の線形空間のところだと思います。もし数学B、または線形代数の本を持っているのなら確かめてみてください。▢
このブログの動画はこちら(←YouTube)をご覧ください。２倍速でも聴けると思います。
※１ 群は「むれ」ではなく、「グン」と読みます。
※２ 吉田洋一著「零の発見」（岩波新書 赤）
※３「任意に」…「どれでも好きなように」、「選ぶことなく自由に」と考えればいいと思います。
この言葉はよく使いますので慣れてください。法律では使われているようですが、日常生活ではふつう使われないと思います。英語だと any に当たります：Pick up any card.（どれでも好きなカードを一枚引いてください）とマジシャンのいう科白です。
※４ ある空でない集合Gがあって，その集合Gの２つの元a，bに対して、演算「･」を考えたとき，その演算の結果a･bが再びGの元であったとします．この演算に関して，
G1 (a･b)･c＝a･(b･c) 【結合律】
G2 a･e＝e･a＝a なるeがGの中に存在する【単位元の存在】
G3 a･x＝x･a＝e なるGの元xがaに対して決まる【逆元の存在】
が、任意のGの元a, b, cに対して成り立つとき，集合Gは群を成すといいます．
今後，「群G」と書いたら，集合Gに何らかの演算が与えられていて，その演算に対して上の３つが成り立つということです．演算を強調して，群(G, ･) と書いたりもします．表現の仕方は使う人に依りますので，慣れるしかありません．尚、単位元とか逆元は一意性（ただ一つしか存在しないという性質）を持っています。
この群に関しては、youtubeでいろいろな人が話されています。数学系で有名と思われるヨビノリさんも取り上げています。
※５ 自然数の記号は、natural number(自然数)の頭文字で、太文字Nで表されます。
整数の記号は、ドイツ語のzahl (「数」を意味する) 複数形 zahlen(ﾂｧｰﾚﾝ)の頭文字からつけられた記号で、太文字Zで表されます。私は、Nを使わずにZの右下に小さめに「＞０」を付けて表します。これを用いると、０を含めた自然数はZの右下に小さめに「≧０」を付けて表現できます。
実は、私自身は「自然数」という言葉を使いません。指導上、やむなく使うことはありますが、正の整数とか０以上の整数とかで代用します。混乱のないようにしているからです。
※６ ７＋▢=10 のとき、▢は10－７で求められます。これにより、a+x=b において、ｘを b－a と定義するのは自然です。
最後に、謎の数学者が「数学の学び方」を話されています。とても良い内容です。「こんにちは、数学者です」で始まります。その数学者自身が、動画の中で話してしまっているので調べれば直ぐに正体が判るのですが、そっとしておきましょう。とても素敵な数学者です。40年前に出会いたかったです。数学者の話が聴けるのですから、いい時代になりました。日本人の数学者で、日本語で話してくれています。私は、即日、チャンネル登録しました。
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