三角関数の加法定理を直観的に理解するための図形

 三角関数の加法定理　任意の実数 $\alpha, \: \beta$ に対して

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

は三角関数で修得すべき項目の１つです。 

　　「咲いたコスモス、コスモス咲いた」「コスモス コスモス、咲いた咲いた」

と覚えましたが

　　「シンコス、コスシン」「コスコス、シンシン」

と覚える人もいるようです。中には直接覚えている人もいるかと思います。

「あれっ？タンジェントは？」と思ったかもしれませんが、これらの式から導けるし、今回の話には登場しないので省略しました。

この「加法定理を証明せよ」というのが 1999年に東京大学の入試で出題されたことは受験業界ではよく知られています。

高校数学の証明$＋\alpha$ は『数学事始め』27.13三角関数(加法定理) をご覧ください。

これから次の２式

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

がどのように導かれるかを説明します。

この説明で三角比を用いるので、三角比の性質を確認しておきます。

　　　　性質　直角三角形において１つの鋭角を$\theta$とする。斜辺の長さが１のとき

　　　　　　$\theta$の対辺の長さ(高さ)は $\sin\theta$, $\theta$の隣辺の長さ(底辺)は $\cos\theta$ である。

参考図：

これを用いると、１つの鋭角が等しい直角三角形において、斜辺の長さが $a$ のとき

　　　　　　　　　　　　対辺 $=a\sin\theta$,  隣辺 $=a\cos\theta$  

となります。（相似を用いた）

 

(再掲)　

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, \:\cdots ①$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \:\cdots ②$$

 説明　下図において、点Ｉは 点Aを通り辺BDと平行な直線 と 直線CD との交点である。 

このとき ∠CBD = ∠ACI である。AB = 1 とし、①を示す。

　　　　

　　　△ABCに着目すると  　AC $=\sin\alpha$,  BC $=\cos\alpha$ である。

したがって

　　　△ACIに着目すると      IC $=$ AC $\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta$,
　　　△CBDに着目すると 　CD $=$ BC $\sin\beta=\cos\alpha\sin\beta$.

一方、△ABHに着目すると 　AH $=\sin(\alpha+\beta)$.

よって AH = ID = IC + CD より

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

次に下図において、AB = 1 とし②を示す。

　　　　

　　　△ABCに着目すると　 AC $=\sin\alpha$,  BC $=\cos\alpha$ である。

したがって

　　　△CAIに着目すると     AI $=$ AC $\sin\beta=\sin\alpha\sin\beta$,
　　　△CBDに着目すると   BD $=$ BC $\cos\beta=\cos\alpha\cos\beta$.

一方、△ABHに着目すると   BH $=\cos(\alpha+\beta)$.

よって BH = BD － HD = BD － AI より

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \: ▮$$
※ 重複している部分がありますが、流れを重視しました。

注１　図に依存し細かい説明を省きましたが、気になる場合は各自で補ってください。

注２　これは加法定理の一般的証明ではなく、直観的に理解するためのものです。
　　証明でなく、説明と書いたのはそのためです。

ところで、一般的証明になっていないのはなぜでしょうか。

上の説明は任意の実数ではありません。実は制約があり

　　　　　　　　　　　$\alpha>0, \: \beta>0$　かつ　$0<\alpha+\beta<\dfrac{\:\pi\:}{2}$

です。ずいぶん条件が強いですね。

※ 「条件が強い」というのは、縛りがきついということです。このために適用できる範囲が狭くなっています。そのために $\alpha=\dfrac{\:\pi\:}{3}, \: \beta=\dfrac{\:\pi\:}{4}$ を適用することが出来ません。最初に述べた加法定理の条件は「任意の実数」なので $\alpha=\dfrac{\:\pi\:}{3}, \: \beta=\dfrac{\:\pi\:}{4}$ が適用できるだけでなく、$\beta$ の代わりに $-\beta$ を代入することもできます。これにより $\alpha- \beta$ の加法定理も得られます。▢

余談　加法定理の証明でもっとも優れていると思うのは、正規直交基底を用いたベクトルでの証明です。でも高校数学の範囲では難しいように思います。▮

どちらの会社を選ぶ？ ～ 論理・ろんり・logic ～

あなたはある会社の就職説明会に参加した。

　　　　　　　　O興業「会社を守れないなら、家庭は守れない」

　　　　　　　　T商事「家庭が守れないなら、会社は守れない」

これはそれぞれの会社で、毎日社員にも話していることだそうだ。これ以外に大きな違いは特になかった。

問題　あなたはどちらの会社を選びますか。

数学の問題ではないので、家庭と会社のどちらを大切にするかに依ります。なのでここでは考えるための手掛かりを話します。

日本の高度成長期、毎朝満員電車に揺られ、会社終わりは同僚と呑み屋に立ち寄り、子供たちが眠ってから帰宅というのが典型的なサラリーマン像でした。そういう人はT商事を選ぶかもしれません。

２つの会社の主張を見てみましょう。

　　　　　　　A興行「会社を守れないなら、家庭も守れない」

換言すれば

　　　　　　　　　　「家庭が守れれば、会社も守れる」

と言っています。

　　　　　　　T商事「家庭が守れないなら、会社は守れない」

換言すれば

　　　　　　　　　　「会社が守れれば、家庭も守れる」

対偶を取っただけですが、これで A興行は家庭が第一、T商事は会社が第一ということが分かりました。あなたはどちらを選びますか。

論理シリーズを取り上げた切っ掛け

タイムラインに

　　　　　「外国人の人権を守れない国は、国民の人権も守れない国になる」

が「逆だろ、国民の人権も守れない国は･･･。算数もできんのか」と共に流れてきたのが切っ掛けです。この人は何を言いたいのかと考えてゾゾゾゾゾとしたのです。

算数のできる人が書いたのでしょ。ということは・・・ということです。▢

論理パズル ～論理･ろんり･logic その２～

問題　カードが４枚あり、そのカードの片面には数字が一つ、もう一方の面にはアルファベットが一文字書かれています。

この４枚のカードについて

　　　　　　　　　　　　　　「奇数の裏は母音である」

が正しいことを確認するには何枚のカードを裏返せば良いでしょうか。その最少枚数と裏返すカードを指摘してください。

            ※ この問題の対象者は高校２年生以降だと思いますが、実際はどうなのか
             わかりません。高校数学Ⅰで『集合と命題』を学ぶので高校２年生以降だ
　　  　  と判断したのですが、日本語を論理的に遣っているのなら年齢は問わない
             ようにも思います。少なくとも大学で使っている教科書を読むような人な
　　　　 ら、学部を問わず解けると思います。

問題の答え　「Kのカード」と「３のカード」の２枚を裏返せばよい

この問題を最初に知ったのは大学１年の頃だと記憶しています。数学セミナーの表紙に書かれていたと思うのですが、その雑誌が手元にないので真偽は不明です。それ以外でも似た問題を目にした記憶があるので、比較的知られている問題なのかと思います。

その数セミには問題と答えしか書かれてなかったと記憶しています。当時の私には直ぐには解けず、うんうん唸りながら時間を掛けて解きました。その数セミには「数学科の学生ならかんたんに解ける」ようなことが書かれていて、自分が該当しないことに軽い衝撃を受けました。大学３年生になる頃には論理に慣れるので、確かにそうなのかもしれません。

解説　４枚とも裏返せばかんたんに確認ができますが、最少枚数ではないことは分かります。「８のカード」を裏返す必要がないからです。分かりやすいように「奇数の裏は母音である」を「ならば」で書き直しましょう。

　　　　　　　　　　　　　「奇数ならば裏は母音である」

奇数は１，３，５，７，９，... で、母音は A， E， I， O， U です。

だから「８のカード」を裏返す必要がないのです。

「３のカード」を裏返してもしも母音でなかったら与えられた命題が正しくなくなるので、このカードは裏返す必要があります。ここまではかんたんに判断できるのですが、次からが問題です。

間違いが多いと思われるのは「Aのカード」を裏返すです。

母音が書かれているので裏返したくなってしまうのです。指導教官が論理の説明で好んでおっしゃっていました。「100点を取りたいならたくさん勉強しなさい」でも「たくさん勉強したのに100点を取れなかったからと言って文句を言わないように」と。つまり「AならばB」とは言いましたが「BならばA」とは言っていないと主張しているのです。

だから「Aのカード」を裏返す必要はないのです。裏返したときに「４」と書かれていても命題が間違いではありません。もう一度確認しますが、命題の主張は「奇数ならば裏は母音」です。

さて「Kのカード」ですが、これは裏返します。もしも裏返して「奇数」が書かれていたら命題が誤りになるからです。このように考えて裏返すと判断することも出来ますが、私は対偶を考えて判断します。つまり「奇数の裏は母音である」の対偶を取ると「子音ならば裏は偶数である」となります。

だから「Ｋのカード」は裏返します。▮

対偶の部分についての補足

対偶のつくり方は仮定と結論を否定し逆にします。対偶は元の命題と同値です。

　　　　　　　　　　　　「奇数の裏は母音である」

　　　　　　　　　　　⇔「奇数ならば裏は母音である」（言い直し）

　　　　　　　　　　　⇔「母音でないならば裏は奇数でない」（ここで対偶をとった）

　　　　　　　　　　　⇔「子音ならば裏は偶数である」（言い直し）

　　　　　　　　　　　⇔「子音の裏は偶数である」（言い直し）

となります。

『数学事始め』でも書きましたが、数学に慣れると「ｐならばｑ」という命題を同時に「ｑでない ならば ｐでない」と読むようになります。そうしないと証明を読み解くことも大変です。数学者の証明は簡潔さから「それくらい判るだろ(以前に学んだこと)」というのを省略します。本の場合だと頁数制限も影響すると思います。授業では、口頭ですが、きちんと説明されていると思います。板書写しにとらわれて聞き逃すと大変な目にあいますが、こういう発言もメモしておくと後がらくです。

論理は学部学科に関係なく、大学では必須事項だと思うのですが現実を見るに大きな疑問を感じてしまいます。言葉の解釈を変えたり、概念を変えたりしてしまうのは勘弁願います。ジョージ･オーウェルの小説『1984』の世界はお断りです。▢

「カラスは黒い」の否定は？ ～ろんり・論理・ロジック～

　　　　　　　　　　　　　　　　「カラスは黒い」

を否定してください。

　　　　　　　　　　　　　　「カラスは黒くない」

ではありません。

　　　　　　　　　　　　　　「黒くないカラスがいる」

もしくは

　　　　　　　　　　　　　　「あるカラスは黒くない」

となります。

ではなぜなのかをそれらしく思える手順で考察していきます。もしも形式的な説明を早く知りたいなら、この部分を飛ばして下の方の3⃣に進んでください。

考察を通じて

　　　　　　　　「カラスは黒くない」と「あるカラスは黒くない」

が異なることを主張していることもわかります。

「カラスは黒い」を分析してみましょう。

このときのカラスは１羽でしょうか。それともカラス全体でしょうか。日本語は冠詞を付けなくても前後関係から複数か単数かを判断しますが、この場合は「カラス全体」を指していると判断するのが自然だと思います。曖昧さを無くしたいのなら、冠詞を意識して表現するのが良いですね。数学の議論をするときには曖昧さを避けるために

　　　　　　　　　　　　　「どのカラスも黒い」

もしくは

　　　　　　　　　　　　　「カラス ならば 黒い」

などと表現します。他にも表現はできそうですが、この２つで考察を進めます。

1⃣　まずは「どのカラスも黒い」を絵で表現してみます。カラスを四角で表すことにすると、１羽の黒いカラスは■で表すことができます。したがって「どのカラスも黒い」は

　　　　　　■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

と表現できます。数が少ないですが、気持ちをこれですべてのカラスを表しているとみてください。これを否定するにはどうすればいいでしょうか。よくあるのは

　　　　　　▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢▢

のようにすべてを黒くないカラスにしてしまうものですが、否定するだけなので全否定しなくてもいいのです。例えば

　　　　　　■■■■■■■■■■■■■■■■▢■■■■■■■■■■■■

は「どのカラスも黒い」ではありませんね。ここ↑に黒くないカラスが一羽います。

このように１羽でも黒くないカラスがいればいいので

　　　　　　　　　「少なくとも１羽は黒くないカラスがいる」

で否定になっています。

2⃣　もう一つの「カラス ならば 黒い」についても考察してみます。
少し強調した感じで言い直すと

　　　　　　　　　　　　「カラス ならば 必ず黒い」

　　　　　　　「カラス ならば 必ず黒く、黒くないことはない」

ということは

　　　　　　　　「カラス であって 黒くないカラスはいない」

となります。したがって、黒くないカラスが１羽でもいれば否定したことになるので

　　　　　　　　　　　　「黒くないカラスがいる」

で否定になります。

3⃣　最後に、形式的な話をしておきます。高校数学でも触れられたりするようですが、数学科の１年生で習うことです。

条件をｐ, ｑで表すことにします。このとき

　　　　　　　　　　　「ｐである」の否定は「ｐでない」
　　　　　　　　　　　「ｐでない」の否定は「ｐである」

　　　　　　「すべてｐである」の否定は「ｐでないものが存在する」
　　　　　　　「あるものはｐでない」の否定は「すべてｐである」
※ 「ｐでないものが存在する」と「あるものはｐでない」は同じことを意味しています。

　　　　　　　「ｐかつｑ」の否定は「ｐでない または ｑでない」
　　　　　　　「ｐまたはｑ」の否定は「ｐでなく かつ ｑでない」

　　　　　「ｐならばｑである」と「ｐでない または ｑである」は同値
したがって
　　　　　　　「ｐならばｑである」の否定は「ｐであるがｑでない」

集合を利用して、次のように考えることもできます：

　　条件「ｐである」を満たすもの全体をＰ, 条件「ｑである」を満たすもの全体をＱ

とすると「ｐならばｑである」は「$P\subset Q$」なので、否定すると「$P\not\subset Q$」。したがって「ｐであるがｑでない」となります。

毎回、毎回 1⃣や2⃣のように考えることはせず、3⃣を使って形式的に考えます。言い換えれば数学の公式のように使うのです。きちんとこの辺りのことを知りたいのなら、下に挙げた参考書をご覧ください。大学生以上なら『論理哲学論考』がおもしろいと思います。

注：数学科だと多くの場合、記号で学ぶと思います。その方が覚えやすくかつ実践的だからです。これを数学科で学ぶのは悪名高い

　　　　　「イプシロン論法」「イプシロン-ｎ論法」「イプシロン-デルタ論法」

のためです。そうでなければ集合・位相の最初の方で学ぶと思います。

新しい教育課程なら高校国語で論理の基礎を学ぶのかもしれません。▢

論理に関する参考書

　　　　　　L.ヴィトゲンシュタイン著『論理哲学論考』（岩波文庫）
　　　　　　山下正男著『論理的に考えること』（岩波ジュニア新書）

数学的なもの

　　　　細井勉著『イプシロン・デルタを理解するために』（日本評論社）

関数のグラフと図形は違うの？ ～[続] 中高数学の壁～

　　　　　関数のグラフは図形ですが、図形が関数のグラフとは限りません。

※ ここでいう関数は実数 $x$ を変数とする実数値関数 $y=f(x)$ のことであり、図形は方程式 $F(x, y)=0$ の実数解を $xy$ 平面上の点とみたときの点全体のことです。

書いた動機

高校数学Ⅱで図形の方程式を学び、高校数学Ⅲで２次曲線として放物線を学びます。放物線は２次関数で学んだはずなのに再び学び、式の形が $y^2=4px \: (p \in \mathbb{R})$ となります。「この式は２次関数じゃないの？」その前に中学数学で学ぶ「直線の式は関数じゃないの？」と思いませんでしたか。
数学事始めシリーズでも『図形と方程式』で「円の方程式」が話せたのでいい機会です。

定義を思い出しましょう。

関数 $y=f(x)$ のグラフとは、$y=f(x)$ を満たす点 $(x, y)$ 全体

$$\{(x, y) \mid y=f(x) \:\:(x \in \mathbb{R}) \}$$

のことです。一方、方程式 $F(x, y)=0$ の表す図形とは、$F(x, y)=0$ の解を $xy$ 平面上の点とみたときの点全体

$$\{(x, y) \mid F(x, y)=0 \:\:(x, \: y \in \mathbb{R}) \}$$

のことです。

なので $F(x, y)=f(x)-y=0$ とみれば

　　　　　関数 $y=f(x)$ のグラフは方程式 $f(x)-y=0$ の表す図形です。

分かり難いので具体例で見ておきます。

１次関数 $y=2x-3$ のグラフ

$$\{(x, y) \mid y=2x-3 \:\:(x \in \mathbb{R}) \}$$

において、$F(x, y)=2x-y-3=0$ とみると直線

$$\{(x, y) \mid 2x-y-3=0 \:\:(x, \: y \in \mathbb{R}) \}$$

となるので関数のグラフは図形です。

逆に、直線 $2x-y-3=0$ の式を $y=2x-3$ と変形すると $y$ は $x$ の関数とみられるので、直線

$$\{(x, y) \mid 2x-y-3=0 \:\:(x, \: y \in \mathbb{R}) \}$$

は１次関数 $y=2x-3$ のグラフ

$$\{(x, y) \mid y=2x-3 \:\:(x \in \mathbb{R}) \}$$

とみることが出来ます。(※0)

ところが最初に述べたように、一般に逆は言えません。実際

　　　　　　　円 $x^2+y^2=1$ は関数のグラフではありません。(※1)

なぜなのでしょうか。

関数とは何かを確認します。

$y$ が $x$ の関数であるとは、 $x$ の値を１つ決めたときに $y$ の値が唯一つ決まるときをいいます。このとき、働きを $f$ で表し $y=f(x)$ と表記します。

これを踏まえて、方程式 $x^2+y^2=1$ を考察します。
$x=1$ とすると

$$1^2+y^2=1,$$

$$y^2=0,$$

$$y=0$$

となりますが、 $x=0$ とすると

$$0^2+y^2=1,$$

$$y^2=1,$$

$$y=\pm 1$$

となり $y$ の値が２つ決まるので関数ではありません。 

なお $x=2$ とすると

$$2^2+y^2=1,$$

$$y^2=-1$$

となり、この式を満たす実数 $y$ の値は存在しません。▮

円の方程式 $x^2+y^2=1$ を $y$ について解いてみます。

$$y^2=1-x^2,$$

$$y=\pm \sqrt{1-x^2\:}\:.$$

ここで

$$y=\sqrt{1-x^2\:}\:\: (-1\leqq x \leqq 1)$$

とすれば、$y$ は $x$ の関数です。この関数のグラフは円の上側の半円です。このような関数を $x^2+y^2=1$ で定まる陰関数(インカンスウ)といいます(※2)。もちろん

$$y=-\sqrt{1-x^2\:}\:\: (-1\leqq x \leqq 1)$$

も $x^2+y^2=1$ で定まる陰関数で、この関数のグラフは円の下側の半円です。▢

※０　中学数学で１次関数と直線の方程式を一緒に扱っているのはこのためです。
けれども、直線だからと言って１次関数のグラフとは限りません。
　　 　直線 $y=3$ は１次関数の式ではなく、直線 $x=2$ は $x$ の関数ではない
からです。$y=3$ を定数関数とみることは出来ます。どんな $x$ に対しても３を対応させるという関数です。

※１　「円 $x^2+y^2=1$」 は省略した表現で

$$\{(x, y) \mid x^2+y^2=1 \:\:(x \in \mathbb{R}) \}$$

が円であり、$x^2+y^2=1$ は円を表す方程式です。もちろん $x^2+y^2-1=0$ のように表現しても構いません。図形であることを強調するために直線を

$$\{(x, y) \mid 2x-y-3=0 \:\:(x, \: y \in \mathbb{R}) \}$$

と書きましたが

$$\{(x, y) \mid y=2x-3 \:\:(x, \: y \in \mathbb{R}) \}$$

でも構いません。こういうところも分かり難いですよね。

※２　陰関数は多変数関数を扱うようになると顔を出します。陰関数定理または陰関数を微分するときに学びます。用語は学びませんが、高校数学Ⅲでも陰関数は顔を出します。

中高数学の壁 ～多項式･方程式･関数～

次の違いが説明できるのなら、第一の壁は突破しています。題材は中学数学ですが、高校数学にも通じます。

　　　① 多項式 $8x+5$
　　　② 方程式 $8x+5=0$
　　　③ 関数 $y=8x+5$
　　　④ 直線 $y=8x+5$

これら４つはとても似ていますね。特に③④の区別は難しいように思います。

まず①多項式

①~④の文字 $x, \: y$ はすべて変数と呼ばれますが、このときの $x$ は不定元という呼び名が相応しいと思っています。$x$ に入るものを指定しない限り、$8$ と $x$ の積に５を足したものでしかありません。とても無機質な感じです。

次に③関数

①の文字 $x$ に入れるものを決め、それに対して値がただ一つ対応します。特に、関数という場合には実数(または 複素数)を想定し連続的な変化を考えます。なので文字 $x$ を変数と呼ぶのがとても似合っています。例えば③の式は定義域を実数全体とする実数値関数です。関数には定義域が付きものです。

定義域は実数でなく整数でもいいのですが、その場合は関数でなく写像という語が使われることが多いようです。関数も写像も同じだと書かれていることが多いですが、上でも述べたように関数という場合には実数または複素数が想定されます。

注：複素数を定義域にした場合は複素関数と呼ばれます。大学数学の２,３年生で学びます。

そして②方程式

②, ④の式は方程式です。この場合の文字 $x, \: y$ は未知数という呼び名が似合います。この２式は "(多項式)＝0" と書け、ある特定の値に対してのみ等号が成り立つ式です。

②の場合は $x=-\dfrac{5}{\:8\:}$, ④の場合は無数にありますがどんな値ても成り立つという訳ではありませんね。例えば $(x, \: y)=(-1, -3), (0, 5), (1, 13)$ などです。

注：さらに学びが進むとこの説明には瑕疵があるのですが、いまはこれで良しとします。

最後に④直線(図形)

③も④も同じ形で書いていますが大きな違いがあります。
③は上で述べたように $x$ に対して $y$ がただ一つ対応することを意味しています。

一方の④をきちんと書くと次のようになります。

　　　　　　　　　　$\{(x, \: y) \mid y=8x+5 \:\: (x, \: y \in \mathbb{R})\}$

この記号の意味するところは

　　　　　　　方程式 $y=8x+5$ の解全体を座標とする点の表す図形

ということです。その図形が直線なので方程式の前に「直線」と書きました。

以上の説明で気づいてほしいことは、単に $y=8x+5$ と書いただけでは何を意味しているか判断できません。中高生の多くは「関数の式」と読み取ると思いますが、実際には何を意味しているのか判断できません。もちろん、前後関係から判断できることもあります。

単に問題を解いているうちは大して問題にならないように思いますが、大学以降の数学をたのしもうと思ったらその式が何を表しているのかを確認しましょう。

いまはこう書いていますが、昔の自分はきちんと問題を読み取らずに解いていたように思います。それでも答えが合っていると解けたと勘違いしていたのです。

穴埋め問題では解けているかどうかの判断はできませんが、記述式のテストだとどれくらい理解しているのかが採点者には判ると思います。でも安心してください。厳しく採点してしまったら点数が悪くなってしまい受け入れ側にもマイナスにはたらきます。なので受験生には採点が甘くなりがちです。▢

３次方程式の根の公式を導く ～ 高校数学Ⅱ＋ｱﾙﾌｧ ～

前回は、一般の３次方程式

$$ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad (a, \: b, \: c, \: d \in \mathbb{R},\: a \neq 0)$$

が

$$x^3+px+q=0 \quad p, \: q \in \mathbb{R} \:\: \cdots (*)$$

のように表せることをみました。今回はこの３次方程式を解きます。

使う道具は３次式の因数分解公式

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)$$

で、この式を利用して $(*)$ を因数分解します。左辺の $a$ を $x$ とし、$x$ について整理し $b, \: c$ を決定します。

$$x^3-3bcx+(b^3+c^3)=(x+b+c)(x+b\omega+c\omega^2)(x+b\omega^2+c\omega) \cdots (1)$$

と因数分解できれば求めたい根は

$$x=-b-c, \: -b\omega-c\omega^2, \: -b\omega^2-c\omega$$

です。

式 $(1)$ と $(*)$ の係数を比べると

$$bc=-\dfrac{\:p\:}{3}, \: b^3+c^3=q .$$

この式を満たす $b, \: c$ を見つければ因数分解できます。第一式を３乗すると

$$b^3c^3=-\dfrac{\:p^3\:}{27}, \: b^3+c^3=q .$$

見やすいように、$B:=b^3, \: C:=c^3$ と置くと

$$BC=-\dfrac{\:p^3\:}{27}, \: B+C=q .$$

この式を満たす $B, \: C$ は $t$ の２次方程式

$$t^2-qt-\dfrac{\:p^3\:}{27}=0$$

の根です。根の公式により

$$t=\dfrac{\:q\pm \sqrt{q^2+\dfrac{\:4p^3\:}{27}}\:}{2},$$

$$t=\dfrac{\:q\:}{2}\pm \sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}. \:\: 《← check!》$$

一方が $B$ で、もう一方が $C$ の値です。

$$B=\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}$$

とすると

$$b^3=\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}.$$

これを満たす $b$ の中の１つを選び（どれを選んでも最終結果は変わりません）

$$b=\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}$$

とします。このとき $bc=-\dfrac{\:p\:}{3}$ によって

$$c=\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}$$

となります。《← check!》

よって、３つの根 $x_1, \: x_2, \: x_3$ は

$$x_1=-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}},$$

$$x_2=-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega^2,$$

$$x_3=-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}+\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega^2-\sqrt[3]{\:\dfrac{\:q\:}{2}-\sqrt{\dfrac{\:q^2\:}{4}+\dfrac{\:p^3\:}{27}}}\:\omega$$

となります。▮

抽象的な式変形だったので同じ手法で具体的に解いてみましょう。上の議論が理解できたのなら、根の公式を使ってみてください。

例題　３次方程式 $x^3-6x^2+6x-2=0$ を解け。　　【動画あり】←クリック

解答解説　因数定理を利用しても整数解は見つけられません。《← check!》

まずは前回の方法を用いて２次の項を消去します。

$x=y+2$ と未知数を変換すると

$$(y+2)^3-6(y+2)^2+6(y+2)-2=0 ,$$

$$y^3-6y-6=0. \:\: 《← check!》$$

これも整数解は見つけられません。そこで $(1)$ と比較して $b, \: c$ を１組決定します。すると

$$bc=2, \:\: b^3+c^3=-6q ,$$

$$b^3c^3=8, \:\: b^3+c^3=-6 .$$

２次方程式

$$t^2+6t+8=0$$

を解くと

$$t=-2, \: -4 .$$

したがって

$$b^3=-2$$

とすると（$b^3=-4$ としても最終結果は同じになります）《← check!》

$$b=-\sqrt[3]{2}.$$

（実際は３つの根 $-\sqrt[3]{2}, \: -\sqrt[3]{2}\:\omega, \: -\sqrt[3]{2}\:\omega^2$ を持ちますが、いずれか１つを選びます）

このとき $bc=2$ より

$$c=-\sqrt[3]{4}. \:\: 《← check!》$$

したがって

$$y^3-6y-6=(y-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})(y-\sqrt[3]{2}\:\omega-\sqrt[3]{4}\:\omega^2)(y-\sqrt[3]{2}\:\omega^2-\sqrt[3]{4}\:\omega)$$

と因数分解でき、根は

$$y=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}, \: \sqrt[3]{2}\:\omega+\sqrt[3]{4}\:\omega^2, \: \sqrt[3]{2}\:\omega^2+\sqrt[3]{4}\:\omega.$$

未知数を変換して解いているので、与えられた方程式の根は

$$x=2+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}, \: 2+\sqrt[3]{2}\:\omega+\sqrt[3]{4}\:\omega^2, \: 2+\sqrt[3]{2}\:\omega^2+\sqrt[3]{4}\:\omega.$$

です。▮

３次方程式の根の公式を覚えるのはたいへんそうですが、理屈が分ればこのように解くことができます。２次方程式を平方完成で解くようなものです。

高校の恩師が「３次方程式の解法なら気づける」と言ったのを思い出し、自分だったらどう解くかを考えていたときに３次式の因数分解公式を用いれば解けることに気づきました。これはそれを書き起こしたものです。ただし、前回紹介した未知数の変換によって３次方程式が $(*)$ のように変形できることは過去に別の解法を追ったことがあるので知っていました。もちろん、16世紀のイタリアに居たとしても、フォンタナ(タルターリア)やカルダーノのように発見できる自信はありません。先人たちによって整備された数学を学んだからに過ぎません。

九州大学理学部の落合啓之教授が高校生向けに「３次方程式」の話をしています。三部作になっていて、ガロア理論にも触れています。▢