同値変形⑤無理方程式

問題　方程式 $\sqrt{2x+5}=x+1$ を解け。ただし、$x$ は実数とする。

解くだけなら次のような方法があります。

解説１　両辺を自乗する

                         　　   　$(\sqrt{2x+5})^2=(x+1)^2$,

                            　　    $2x+5=x^2+2x+1$,

                                  　　   　    $x^2=4$,

                                     　　　    $x=\pm 2$.

これは上から下への ⇒ なので、方程式が成り立つための必要条件を求めたことになります。したがって十分性を確認します。

ⅰ）$x=2$ のとき

　　　　　　　　　$\sqrt{2x+5}=\sqrt{2･2+5}=3$,　$x+1=2+1=3$

となり等号が成り立つ。

ⅱ）$x=-2$ のとき

　　　　　　　$\sqrt{2x+5}=\sqrt{2･(-2)+5}=1$,　$x+1=(-2)+1=-1$

となり等号は成り立たない。

よって、

　　　　　　　　　　　　　　　　　$x=2$. ▮

同値変形の場合 は次のようになります。

解説２　　　　　　　 $\sqrt{2x+5}=x+1$

                   　　 ⇔  $(\sqrt{2x+5})^2=(x+1)^2$  かつ  $x+1 \geqq 0$

                          ⇔  $x^2=4$  かつ  $x \geqq -1$

                          ⇔　$x=2$  かつ  $x \geqq -1$

よって、

　　　　　　　　　　　　　　　　　$x=2$. ▮                                     　

同値変形でのポイントは最初の同値です。
両辺を自乗したので解説１と同じことをしているのですが、⇐ は一般に成り立ちません。
⇐ が成り立つために条件 $x+1 \geqq 0$ を付けたのです。

 $(\sqrt{2x+5})^2=(x+1)^2$　から　$\sqrt{2x+5}=x+1$　を得るためには、両辺に $\sqrt{\:\:\:}$ を取ればいいように思えますが、

　　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{(x+1)^2} \neq x+1$

です。これはルートの性質

　　　　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{A^2}=|A|$

によるものです。実際、

　　　　　　　　$\sqrt{(-3)^2} \neq -3$　であり　$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$　です。

条件 $x+1 \geqq 0$ によって

                                  $\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=x+1$

となります。

なお、条件 $x+1 \geqq 0$ は式 $\sqrt{2x+5}=x+1$ から得られます。

$x \in \mathbb{R}$ なので $x+1 \in \mathbb{R}$ です。したがって、$\sqrt{2x+5} \in \mathbb{R}$ であるから $\sqrt{2x+5} \geqq 0$ です。よって $x+1 \geqq 0$ を得ます。ていねいに書きましたが、ふつうは

                        　　　$\sqrt{2x+5} \geqq 0$  なので　 $x+1 \geqq 0$

とします。▢