同値変形⑥絶対値付き方程式

問題　方程式 $|x-1|=2x+3$ を解け。ただし、$x$ は実数とする。

ふつうは次のように解きます。絶対値の中身によって場合分けをします。

解説１　i )  $x-1>0$. つまり $x>1$ のとき

                         　　   　$x-1=2x+3$,

                            　　    $x=4$.　（$x>1$ に反する）

ii )  $x-1=0$. つまり $x=1$ のとき

                         　　   　$0=2x+3$,

                            　　    $x=\frac{-3}{2}$.　（$x=1$ に反する）

iii )  $x-1<0$. つまり $x<1$ のとき

                         　　   　$-(x-1)=2x+3$,

                            　　    $x=\frac{-2}{3}$.　（$x<1$ に反しない）

よって

                                          $x=-\dfrac{\:\:2\:\:}{3}$.  ▮

グラフを利用して解くこともできます(※1)。

次のように 同値変形 で解くことも出来ます。

解説２　　　　　　　　　　$|x-1|=2x+3$

　　　　　　　　　　⇔　$|x-1|^2=(2x+3)^2$　かつ　$2x+3 \geqq 0$

　　　　　　　　　　⇔　$(x-1)^2=(2x+3)^2$　かつ　$x \geqq \frac{-3}{2}$

                             ⇔　$(3x+2)(x+4)=0$　かつ　$x \geqq \frac{-3}{2}$

                             ⇔　$x=\frac{-2}{3}$　かつ　$x \geqq \frac{-3}{2}$

よって

　　　　　　　　　　　　　　　$x=-\dfrac{2}{\:\:3\:\:}$. ▮

最初の同値は条件 $2x+3 \geqq 0$ によって成り立ちます。

⇐ を示すとき、両辺に $\sqrt{\:\:\:}$ を取りますが、条件 $2x+3 \geqq 0$ によって右辺が $2x+3$ になります。このとき、前回も使った

　　　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{A^2}=|A|$　($A \in \mathbb{R}$)

を利用しています。２つ目の同値のときには絶対値の性質

　　　　　　　　　　　　　　　 $|A|^2=A^2$   ($A \in \mathbb{R}$)

を使っています。▢

※１　『理一の数学事始め』 の 20.30 をご覧ください。