２次方程式と２次関数とb^2-4ac ～実数解の個数と共有点の個数～

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ ･･･① の解は２次関数 $y=ax^2+bx+c$ ･･･② において $y=0$ となる $x$ の値と言い換えることができます。つまり方程式の解は、関数のグラフと $x$軸との共有点として現れるということです。ただし、$x$ は実数変数とします。

結論　２次方程式①の解と２次関数②のグラフと$x$軸との共有点について

　　　　[Ⅰ]　①の実数解が２つ ⇔ ②の共有点が２つ ⇔ $b^2-4ac>0$

　　　　[Ⅱ]　①の実数解が１つ ⇔ ②の共有点が１つ ⇔ $b^2-4ac=0$

　　　　[Ⅲ]　①の実数解がない ⇔ ②の共有点がない ⇔ $b^2-4ac<0$

 が成り立つ。▮

解説
いま $a\neq 0$ である(※1)から、２次関数 $y=ax^2+bx+c$ を平方完成すると

 　　　　　　　　　　　$y=a(x-\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

となります(※2)。このとき $a$ の符号によって放物線が下に凸か上に凸かが決まります。

[Ⅰ]　(1) $a>0$ のとき　放物線は下に凸

　　　　　　グラフが $x$軸と２点で交わる ⇔ 方程式が２つの実数解をもつ

 グラフが $x$軸と２点で交わる ⇔ 頂点の $y$座標がマイナス

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}<0$

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $b^2-4ac>0$
      (いま $a>0$ であるから $-4a<0$である。これを両辺に掛けて変形した)

(2) $a<0$ のとき　放物線は上に凸

　　　　　　グラフが $x$軸と２点で交わる ⇔ 方程式が２つの実数解をもつ

 グラフが $x$軸と２点で交わる ⇔ 頂点の $y$座標がプラス

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}>0$

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $b^2-4ac>0$
      (いま $a<0$ であるから $-4a>0$である。これを両辺に掛けて変形した)

したがって [Ⅰ] が確認できました。

以下同様にして [Ⅱ], [Ⅲ] についても得られます。

[Ⅱ]　(1) $a>0$ のとき　放物線は下に凸

　　　　　　グラフが $x$軸と１点で交わる ⇔ 方程式が１つの実数解をもつ

　　　  グラフが $x$軸と接する ⇔ 頂点の $y$座標が０

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0$

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $b^2-4ac=0$
(2) $a<0$ のとき　(省略)

[Ⅲ]　(1) $a>0$ のとき　放物線は下に凸

　　　　　　グラフが $x$軸と交わらない ⇔ 方程式が実数解をもたない

　  グラフが $x$軸と交わらない ⇔ 頂点の $y$座標がプラス

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}>0$

　　　　　　　　　　　　　　⇔ $b^2-4ac<0$
(2) $a<0$ のとき　(省略) ▮

動機
今回この話をしたのは、２次関数のグラフを用いて考えるときに、頂点のｙ座標について考えることと判別式 $b^2-4ac$ が同値であることを確認したかったからです。高校生の頃にこのことを知らず、両方を答案に書いたことがあったからです。
いま手元になる高校数学Ⅰの教科書にはこの説明が書かれていません。これがその助けになればと思います。▢

※１　もしも $a=0$ だと２次方程式, ２次関数でなくなります。
※２　平方完成については 19.14「平方完成の補遺」をご覧ください。