同値変形④連立方程式の代入法 [後] ～高校数学～

代入法による連立方程式の同値変形を２つに分けた理由が今回の問題にあります。

次のような計算は高校数学Ⅱ「図形と方程式」で出てきます。直線と円との共有点を求めるときにこれを解くことになります。

問題　連立方程式 $\begin{cases} x^2+y^2=5 \\ y=-x+1 \end{cases}$ 　を解け。

下の式が $y=$ になっているので代入法で解きます。

解答
　　　$\begin{cases} x^2+y^2=5 \\ y=-x+1 \end{cases}$　⇔　$\begin{cases} x^2+(-x+1)^2=5 \\ y=-x+1 \end{cases}$　⇔　$\begin{cases} x=-1, \: 2 \\ y=-x+1 \end{cases}$

　　　　　　　　　　　　⇔　$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$　または　$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$. ▮

解説　３つの同値のうち、最初と最後はこれまでと同じなので省略します。真ん中の同値について説明しますが (⇒) は２次方程式を解きました。(⇐) は次の通りです：

$x=-1$ のとき

　　　　$x^2=1$．また　$-x+1=2$ でもあるから　 $(-x+1)^2=4$. したがって

　　　　　　　　　　　　　　　$x^2+(-x+1)^2=5$

を得ます。よって同値変形になっています。▮

ここからが本題です。

前回紹介しましたが、途中で得た $x$ の値を代入した式 $y=-x+1$ でなく、代入された方の式 $x^2+y^2=5$ を利用して $y$ の値を求めてもいいのでしょうか。つまり

別の解答
　$\begin{cases} x^2+y^2=5 \\ y=-x+1 \end{cases}$　⇐①⇒　$\begin{cases} x^2+(-x+1)^2=5 \\ x^2+y^2=5 \end{cases}$　⇐②⇒　$\begin{cases} x=-1, \: 2 \\ x^2+y^2=5 \end{cases}$

　　　　　　　　　　⇐③⇒　$\begin{cases} x=-1 \\ y=\pm 2 \end{cases}$　または　$\begin{cases} x=2 \\ y=\pm 1 \end{cases}$. ▮

という解答は可能でしょうか。

①～③の同値を確認してみます。①～③の (⇒) は各自に任せ省略します。

③の (⇐) について：(1) $x=-1, \: y=\pm 2$ のとき

                           　  $x^2=1, \: y^2=4$ より   $x^2+y^2=5$.

(2) $x=2, \: y=\pm 1$ のとき

                             　$x^2=4, \: y^2=1$ より   $x^2+y^2=5$.

したがって、③は同値です。

②の (⇐) について：これは上の 解説 と同じです。

①の (⇐) について：　$x^2+(-x+1)^2=5, \: x^2+y^2=5$

　　　　　⇒　$(-x+1)^2=5-x^2, \: y^2=5-x^2$　⇒　$y^2=(-x+1)^2$

　　　　　⇒　$y=-x+1$　または　$y=-(-x+1)$.

したがって、①は同値ではありません。▮

注：この最後の部分について補足します：よく間違えるルートの性質

               　$A>0$ のとき $\sqrt{A^2}=A$, $A<0$ のとき $\sqrt{A^2}=-A$.

　　　（この性質は絶対値記号を使って $\sqrt{A^2}=|A|$ のようにも書かれます）

を使うか、または、次のように計算します。

　　　　　　　　　　　$y^2=(-x+1)^2$　⇒　$y^2-(-x+1)^2=0$　

　　　　　　　　　⇒　$(y-(-x+1))(y+(-x+1))=0$

　　　　　　　　　⇒　$y=-x+1$   または   $y=-(-x+1)$．▮

こういうことがあるので代入法は、代入した方の式で他の値を求める方がいいのです。このため中学数学での代入法の指導で "どちらの式を使っても良い" とは教えないのだと理解しています。▢

次のクイズは前回の最後に出題したものです。

(再)クイズ　連立方程式 $\begin{cases} y=x^2 \\ y=2x+8 \end{cases}$ を次の解答例のように解いても良いでしょうか。

解答例　上の式から下の式を引くと

　　　　　　 $0=x^2-2x-8$,
　　　　　　$0=(x+2)(x-4)$.
　　　　　　　　$x=-2, \: 4$.

　　　これらをそれぞれ上の式に代入して

　　　$x=-2$ のとき　$y=(-2)^2=4$,
　　　$x=4$  のとき　$y=4^2=16$.

よって、
　　　$(x, \: y)=(-2, \: 4), \: (4, \: 16)$. ▮

クイズの答え　良い

今回扱った問題に似ていますが、$x$ の値を出してからはどちらに代入しても構いません。加減法を使って解いていますが、代入法を意識して解くのがふつうかもしれません。このとき下を上に代入したとみても、上を下に代入したとみても構いません。
$y^2$ でなく $y$ なので今回扱った問題とは異なります。

３回に亘って扱った連立方程式は比較的かんたんなものです。一般の連立方程式を同値変形を意識して解くのは難しいので、導かれた解の十分性も確認するようにしています。▮