数の集合と演算 (代数系入門) ～現代数学の基礎 集合３～

集合は話の前提を与えるので、数学を考える上では大切なものです。高校数学で集合を学ぶのだから数の演算との関係についても触れてほしいのですが、どんどん削らる授業時間数の影響によって余裕がないのだと思います。とても残念です。

０を含む自然数の世界 $\mathbb N$ を見てみます(※-1)。足し算、掛け算はどんな２数を選んでも結果が自然数ですが、引き算と割り算の結果はいつでも自然数になるとは限りません。こういうとき、自然数は和と積に関して閉じてるが、差と商に関しては閉じてないと表現します。

では整数 $\mathbb Z$ ではどうなっているでしょうか。足し算、引き算、掛け算に関しては閉じていますが、割り算に関しては閉じていません。整数は割り算で閉じていませんが、代数学的には 環 (カン)と呼ばれ大切なものの一つです。

問題　有理数 $\mathbb Q$、実数 $\mathbb R$、複素数 $\mathbb C$ は四則演算について閉じてますか。

いずれも四則演算について閉じてます。これらは代数の言葉では 体 (タイ)と呼ばれます。同じ体ですが違いがあります。集合の包含関係では $\mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$。他に複素数には大小関係がなく、位相(近さ)でも異なる性質があります。

私が学んだ頃の教科書も参考書も手元にはないので、実際にどう書かれていたのか分からないのですが、集合のところでは、雑談ページも含めますが、こういう話も書かれていたように記憶しています。もしかしたらモノグラフシリーズ(※0)を読んでいたので、そちらの記憶かもしれません。ここまでが本題です。▢

【環と体の紹介】
環は、以前紹介した群のことば(※1参照)を利用すると次のように言えます。

集合 $R$ に２つの閉じた演算 和「＋」と積「・」が定義されていて

　　(1) 和に関して可換群を成し、(2) 積に関してモノイドを成し、(3) 分配律をみたす

とき、集合 $R$ は環(ｶﾝ)であると言います(※1)。特に、任意の $R$ の元 $a \neq 0$ に対して積に関する逆元が存在するとき、環 $R$ を体と言います。この逆元が四則演算の割り算に相当し、上で紹介した体と同じものです。代数の言葉できちんと言い直したのです。

天下り的ですが(※2)、整数 $\mathbb Z$ は環を成し、ここから

　　　$a \cdot 0=0 \cdot a=0, \quad a \cdot (-b)=(-a) \cdot b=-ab, \quad (-a)\cdot (-b)=ab$

という性質も得られます。これはまた別の機会にします。▮

※－1　自然数というとき、1, 2, 3, ... を考えますが、０を含めることもあります。今回は自然数と $\mathbb N$ を用いましたが、混乱を避けるために０以上の整数と $\mathbb Z_{\geq 0}$ という記号を好んで使います。

※０　モノグラフシリーズとは、科学新興社から出版されていた高校数学の参考書で、受験参考書というよりは大学数学を意識して書かれていたように思います。矢野健太郎氏が監修をされていました。文庫本で矢野健太郎氏を存じていたので、難しいながらも読んでいました。その当時は進学校の生徒たちがどのような本を読んで数学しているかを知らなかったので、受験生らしくなく、かなり寄り道して独学していたように思います。

これで思い出しましたが、ブルーバックスに『微積分に強くなる』というタイトルの本があり、たぶん高校２年の冬にこれを読んでいたのですが、最終章が理解できずに苦しみました。３年生になって改めて読んだのですが最終章は理解できませんでした。その最終章にはイプシロンｰデルタ論法が書かれていたように記憶していたのですが、ネット検索してみたところ、その章は「関数空間」のようです。

※１　条件(2) をモノイドとしたときは、単位元付き環とも呼ばれます。条件を少し弱くし半群としても環と呼ばれます。群(モノイド, 半群, 逆元)に関しては、以前 「代数学《群の紹介》」を書いているのでこちらをご覧ください。このときのために、モノイドや半群も紹介したのです。

分配律は $a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c, \: (a+b) \cdot c=a \cdot c +b \cdot c$ のことです。分配法則という名の方が馴染みがありかもしれませんね。

※２　天下り的と表現しているのは、0を含む自然数から知られていた整数を再構成するときに上の(1),(2),(3)であることを要請し、この整数の構造に注目したのが環だからです。視点を変え、知られていた整数から環を定義し、整数は環を満たしているとしたのです。

何だかおかしな手順ですが、整数(0, ±1, ±2, ±3, ...)は長い年月をかけて組み立てられ、使われてきていたものです。この整数を新しく手に入れた "集合" でもって整数を捉えなし整備したのです。人類の偉大さを感じるのは、集合を知らずに組み立てたマイナスの計算が整合性を持っていたということです。前回紹介したオイラーの関係式も見事な発見だったと思います。

高校数学までだと環が空虚なものに見えますが、多項式全体や区間 [0, 1] 上で定義された連続関数全体や行列も環構造をもっています。高校数学Ⅱで多項式の割り算を学びますが、これにより整数と多項式は同じような性質を持っていそうであることが見え、整数のように多項式においても合同式を考えることが出来ます。大学受験数学ではこの結果を利用したりしますね。
※ 区間 [0, 1] というのは $0 \leqq x \leqq 1$ のことです。高校数学Ⅲ以降で習う記号です。

【余話】
中学数学は小学算数と高校数学の狭間にあり、小学算数の社会生活における実用性と現代数学以前の高校数学の両面を持ち合わせています。

小学算数は日常生活を意識して組み立てられている点においては、かなり工夫されていると思います。０以上の整数の話から始まり、０以上の有理数を学びます。分数、小数は大切な概念で、図形に関する知識も必要不可欠です。算数でもっとも難しいのは割合(倍で捉えること)と１当たりの量だと思います。割合も１当たりの量と捉えることは出来ますが、別なものと考える方がいいと思います。