集合を無視すると... ～現代数学の基礎 集合２～

 オイラーの関係式

　　　　　　　　　　　　　　　　$e^{i \theta}=\cos \theta +i \sin \theta$

において、$\theta$ に $\pi$ を代入することで

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$e^{i\pi}=-1$

という関係式が得られますが、オイラーの関係式を導くのに

（1） 　　　$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots$

の $x$ に $i\theta$ を代入して

（2） 　　　$e^{i\theta}=1+\dfrac{i\theta}{1!}+\dfrac{(i\theta)^2}{2!}+\dfrac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots +\dfrac{(i\theta)^n}{n!}+\cdots$

とし、$i^2=-1$ を利用して式を次のように整理し

　　　　　　$e^{i\theta}=\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^k \dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots \right)+i \left( x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}- \cdots +(-1)^k \dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\cdots \right)$

として、前の括弧の中身が $\cos \theta$ で後の括弧の中身が $\sin \theta$ であるから

　　　　　　　　　　　　　　　$e^{i \theta}=\cos \theta +i \sin \theta$

が成り立つと説明されたりしますが、これには問題があります。

式 (1) の $e^x$ は実数上で定義されている関数で、等式は $x=0$ におけるテイラー展開で収束域が全実数という条件の下で成り立っています。だから $x$ に虚数を代入して式 (2) が成り立つとするのに問題があるのです。

発見するための一つの方法ではありますが、これを証明のように読み取ってはいけません。例えば次の説明はどうでしょうか。

ルートの公式　$\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{ab}$　において、$a, \: b$ に $-1$ を代入すると右辺は

　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{(-1) \cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$,

左辺は

　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{-1} \sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1$.

したがって、$-1=1$ となる。

これはどこに問題があるか比較的気づきやすいのですが、大学数学の線形代数におけるハミルトン･ケーリーの定理の証明で、行列 $A$ の固有多項式 $\Phi_A(\lambda)=|\lambda E-A|$ に $\lambda=A$ を代入して

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\Phi_A (A)=0$

としたときの誤りは気づき難いと思います。大学１年生だとまだまだ集合の考えには慣れていないからです。▢