関数の表記 ～ $f(x)$は関数ではない？～

$y$ が $x$ の関数であることを表現するときに $y=f(x)$ と書くので、大学以降も $x$ の関数という意味で $f(x)$ を使っていました。でもこの表記には問題があります。微積分における "関数値の収束" と "関数の収束" の区別がし難いという点です。

"一様収束" を学んだときに混乱してしまって訳がわからなくなってしまいました。

この表記の問題を明確に知ったのは、解析系を研究している人にお願いしルベーグ積分講座をしてもらったときです。

　　　　　「関数を表現したいのなら $f(x)$ ではなく $f$ と表現するものだ」

ということでした。区別ができればどちらでも構わないのですが、意識して書く方がいいようです。確かにいまはそう思います。このことはその人自身が学部生のときにゼミの指導教官から繰り返し指摘されたとのことでした。

　　　　　　　　　　　$f(x)$ は関数 $f$ に $x$ を入れた値を意味する。

同じ代数系の人でもこのことを知っていたので、講義で説明されたのを聞き逃していたのだと思います。いまは多項式を表現するときにも $f(x)$ や $P(x)$ とは書かず、単に $f, P$ と表記しています。これに倣うと関数 $y=x^2+5x+2$ に対して $x=1$ のときの $y$ の値を出したいなら $y(1)$ と表記できます。$y=y(1)=1^2+5 \cdot 1+2=8$ というようにです。この表記はたいへん便利です。

中高生には違和感があると思いますが、関数の表記で $y=y(x)$ や $x=x(t)$ というのもあります。なお、中高数学においては $y=f(x)$ や $x=g(t)$ という表記でなんら問題はありません。▢