片手で指折り数えるといくつまで数えられるのか ～重複順列と２進法～

問題　手のひらを上にして、グーの状態から片手で指折り数を数えるといくつまで数えられますか。

 片手で指折り数えるのはふつう５までで、グーの状態から一本一本指を立てて１から５までを数えます。ところが理屈の上では、同じグーの状態から指を立てて数えると31まで数えられます。両手があれば1023まで、両手両足なら104万8575まで数えられます。

まずはその理屈から解説します。５本の指は立てるか立てないかのどちらかです。すると、親指は立てるか立てないかの２通り、人差し指も同じく２通り、中指も薬指も小指もそれぞれ２通りあります。したがって $2^5$ 通りあります。まったく指を立てない場合を除けば $2^5-1=31$ 通りです。（重複順列の応用）

この理屈に従えば、両手の場合は $2^{10}-1=1023$ 通りです。
両足も含めれば $2^{20}-1=1048575$ 通りということになります。実際に可能なのは両手までだと思いますが、足指が器用に動かせる人なら両足が使えるかもしれませんね。

でも実際に数えようとすると問題が生じます。ハンドサインというのがあり勘違いされてしまうからです。「４」を表現するのは躊躇われます。ここでは次のように表現します。

約束　●は指を立てることを意味します。

仕組みは２進法です。親指１、人差し指２、中指４、薬指８、小指16 として指を立てた数を足したのが表す数です。上の表の●に従って指を立てると右の列の数になります。ビッグボスのハンドサインは親指と小指を立てているので17を表していることになります。

最初の問題の条件を緩めると片手だけでもっと多く数えられます。$2^7-1=127$ までは、はっきりと区別がつく形で表現できます。表裏と上下を利用します。私が気づかないだけで、もっと多く数えることができるかもしれません。よかったら考えてみてください。▢