命題 縦横高さのある空間において、ある１つの直線Lが平面α上の交わる２直線M, Nに垂直ならば、直線Lと平面αは垂直である．▮
先日、『数学事始め』で正四面体の体積の話をするまで証明すべきことに気づかず使っていました。私の頃は中学数学で学びましたが、証明せずに認めていたと思います。現在は高校数学Aで学ぶ内容になっていますが、証明せず事実として認めているようです。
数学教師によってはきちんと証明しているかもしれません。証明自体は中学数学で十分だからです。10分ほど考えたら証明の見通しが立ちました。その後、少し工夫した証明も浮かびました。証明を確認する前に、独自で考えてみるのもおもしろいかもしれません。
証明の前に２つ確認しておきます。
① 空間内において２直線が垂直であるとは、交わらない２直線の場合は平行移動することにより２直線を交わらせたときの２直線の成す角が直角のときをいう。
② 直線と平面が垂直であるとは、その直線が平面上の任意の直線と垂直であるときをいう。
考え方（少し下に参考図があります）
②から２直線M, Nの交点Oを通る平面α上の任意の直線KとLとが直交することを確認すればいいので、直線L上にOP＝OQなる２点P, Qを、直線K上に点Cを任意に取ったときPQ⊥OCを示せればよい。△CPQに着目したとき、CP＝CQであれば二等辺三角形の性質から示せる。
そこで点Cを通る平面α上の直線を考え、２直線M, Nとの交点をそれぞれA, Bとすると次の手順でCP＝CQが示せる：△PAB≡△QAB から△PAC≡△QACがいえCP＝CQとなる。
では△PAB≡△QABとなるのは、PA＝QA, PB＝QBが△PAO≡△QAO, △PBO≡△QBOからいえ、ABが共通による。
では証明します。考え方の逆順で次のようになります。細かい部分は各自に任せます。
証明 ２直線M, Nの交点Oを通る平面α上の任意の直線K上に点Cを任意にとる．次に点Cを通る平面α上の直線を考え，２直線M, Nとの交点をそれぞれA, Bとする．
このとき２辺挟角相等により△PAO≡△QAOである．実際，OAは共通，仮定からOP＝OQ，L⊥Mから∠POM＝∠QOM＝∠R(直角) である．△PBO≡△QBOも同様にいえる．
したがって PA＝QA, PB＝QB であるから，三辺挟角相等より△PAB≡△QABである．これにより∠PAC＝∠QACがいえるから，△PAC≡△QAC(２辺挟角相等)となりCP＝CQである．
よって 三角形CPQは二等辺三角形であるから，中線OCと底辺PQは垂直に交わる．▮
かなり省略しましたが、これでも証明は長いように思います。上の図形を漠然と眺めているだけでは難しく感じます。でも視点をあれこれ変えることはありますが、空間図形を平面で捉えるのはよくあることですし、一つ一つの三角形の合同証明はやさしいと思います。
高校数学Aで証明を省略しているのは、証明が長いからだと思います。空間図形の見方を中心に据えるなら、なくてもいいと考えたのだと思います。
実際どうでしたか。高校１年生はこの証明を難しく感じるのでしょうか。▢
この命題から「三垂線の定理」が得られます。
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