この平行比定理をほとんどすべての人たちは教科書や教師に促され、証明せずに事実を認めて使っています。以前にもどこかで触れましたが、中高の数学、否、大学以降の数学もそうです。数学は厳密だと言われながら、そんなに厳密ではないのです。ある仮定の下で厳密に議論しているに過ぎないのです。それで十分だと思います。この「いい加減さ」に気づかないと思わぬところで苦戦を強いられます(何度苦しんだことか)。謎の数学者さんも似たことを動画で話されてました。
『数学事始め』「12.1 平行線の幾何Ⅱ（平行線と比例）」からの抜粋
命題31（平行比定理）
２直線 ℓ, ｍを互いに平行な４本の直線で切り、その交点をそれぞれA, B, C, D；A', B', C', D' とする。このとき、AB：CD＝A'B'：C'D' が成り立つ。▮
証明 ⅰ）AB：CD＝ｎ：ｋ（整数比）のときは，ABをｎ等分，CDをｋ等分し上の補助命題を適用するとA'B'：C'D'＝ｎ：ｋを得る．
ⅱ）AB：CD＝α：１（αが無理数）のときは，中高の内容を超える証明となる．この証明にはDedekindの公理と極限(もしくはε-n 論法)を使うことになるので，事実として認めることにする．▢（抜粋終）
証明のⅱ) は中高の数学を逸脱します。『数学事始め』は原則として中高数学の内容を扱っているので高等数学を使う訳にはいきません。でもどうしても証明が気になるという人もいると思うので、この数学雑談で紹介します。きちんと理解するには大学１, ２年くらいの知識が必要です。大雑把でいいのなら中高の知識で概要はつかめます。
証明を書き上げてみるととても長くなりました。それをそのまま書いてもいいのですが、これは数学の専門書ではないので、次のように書くことにします。
はじめに細かい部分を省いて流れを書きます。人に依ってはこれで十分だと思います。
それから（※１）などとした部分の解説をします。普通に証明を書くときの「何となれば」や「実際に」に当たる部分です。
（少し下に参考図があります）
証明 ⅱ）AB：CD が無理数比なら，２つの項をCDの比で割ることにより α：１（α は無理数）と書ける．そこで次のことを証明すればよい：AB：CD＝α：１ ⇒ A'B'：C'D'＝α：１．
αは無理数であるから分母の同じ２つの有理数で挟める．そこで十分大きい正の整数ｎを考え
ｋ/ｎ ＜ α ＜ (k+1) /ｎ
と評価できる(※1)．ｋはこの不等式を満たすように取った整数である(※2)．このｎで線分CDをｎ等分しこのときの長さCD/ｎで線分ABを点Ａ側から分割し，ABの長さを超えたところで終えることにする．分割された各点を通りAA', BB' に平行な直線を引き線分A'B'を分割する．このとき
k･CD/n ＜ AB＜ (k+1)･CD/n
が成り立つ(※3)．すると平行線によって対応する線分A'B', C'D'に対しても
k･C´D´/n ＜ A´B´＜ (k+1)･C´D´/n
は成り立ち(※4)，辺々をC´D´で割って
k/n ＜ A´B´/C´D´＜ (k+1)/n
を得る．ここでｎをどんどん大きくすれば k/n，(k+1)/n はどんどん α に近づくので，この
２数の挟み撃ちによって
A´B´/C´D´＝α
となる(※5)．つまり
A´B´：C´D´＝α：１
となり主張は示された．▢
※1 ｎを十分大きくとる理由：線分ABとCDの大小が分かりませんね。少し後に線分ABをCDを何等分かした長さで分割するのですが、そのときにCDをｎ等分した一つの長さがABよりも長かったら議論が進まないからです。そのためにABを分割できるくらい十分大きいｎを想定しています。
※2 整数ｋの存在について：Dedekindの公理によって無理数 α による分割 (Ｕ, Ｖ) を考える．すると集合Ｕの分母をｎとする最大値 k/n, 集合Ｖの分母をnとする最小値 (k+1)/n が存在して
k/n ＜ α ＜ (k+1)/n．▮
この説明でも理解する人はいると思いますが粗削りの議論です。分母をｎとする有理数の存在や分子の差が１で取れる理由は省いています。
まず分母をｎとする数の存在は、αは無理数なので適当な２つの自然数e, f によって
e＜α＜f
と評価できます。したがって
ne/n＜α＜nf/n
とすることで、 ne/n∊U, nf/n∊V は言えました。もっと簡単に、Dedekindの公理から言えますね。存在しなかったらDedekindの公理に反します。
次に差が１で取れることについてですが、これは分子の差が１でない分母がｎの２つの有理数によって
c/n＜α＜d/n
と評価されているとします。このとき c＜ｂ＜d を満たす b/n はＵとＶのどちらかに必ず含まれていますね。この議論を繰り返すことにより、αを評価する分母がｎで分子の差が１の有理数がつくれます。
※3 不等式を導く： k･CD/n ＝ (k/n)CD ＜ αCD ＝AB，
AB = αCD＜ ((k+1)/n)CD ＝ (k+1)･CD/n．
つまり
k･CD/n ＜ AB＜ (k+1)･CD/n．▮
（尚、AB = αCDは仮定AB：CD＝α：１から得られる）
※4 遺伝について：直線 ℓ 上の線分ABをCD/nの長さで分割する．そのときの分点を順にA(1), A(2), A(3), ...,A(k), A(k+1) とし，この各点を通るAA', BB' との平行線と直線ｍとの交点を順にA'(1), A'(2), A'(3), ...,A'(k), A'(k+1) とする．（図のAkとここでのA(k)は同じもの）
もしも遺伝しないとすると
A´B´＜ k･C´D´/n または (k+1)･C´D´/n＜ A´B´
が成り立つことになる．仮に A´B´＜ k･C´D´/h であるとする．このとき点Ｂ’に着目すると，
i＜k なる２点A'(i), A'(i+1) の間に点B'が存在することになり，直線BB'は直線A(k)A'(k)と交わる．これはAA'∥A(k)A'(k)∥BB'であることに反する．したがって，k･C´D´/n ＜ A´B´．同様にして A´B´＜ (k+1)･C´D´/n を得る．よってA, B, C, DはA', B', C', D'にそれぞれ遺伝する．▮
※5 極限について： k/n ＜ α ＜ (k+1)/n においてｎを無限大に飛ばせば k/n，(k+1)/n → α となる．実際，任意の正の数εに対して，アルキメデスの公理によって１＜ pε なる正の整数ｐは存在する．このとき p＜ｎを満たすようにｎを選べば不等式
したがって挟み撃ちの原理によって
A´B´/C´D´＝α．▮
大雑把な証明は寺阪の『幾何とその構造』34ページを参考にしました。この本は絶版になっていて、いまamazonで確認したら洋書並の価格が付いていました。▢
証明の最後に登場した、数学科の学生が一度は泣かされるイプシロン･デルタ論法ですが、私は下の本で学びました。出版年が1978なのに今も売れ続けているようです。田島一郎先生はいい仕事をされましたね。
田島 一郎 著 数学ワンポイント双書『イプシロン‐デルタ』（共立出版）
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