角の大きさと自然な弧度法

 角の大きさを表すのは、弧度法が自然というのは前回の話です。ただ、度数法を習ってしまってからだと、慣れてしまっているためそう感じられないかもしれませんね。

弧度法を理解するには「割合」と「相似」の知識が必要ですが、基本で十分です。では弧度法について説明します。

弧度法とは、円弧の長さによって角の大きさを表現しようというものです。すべての円が相似である(※1)ことを利用して、次のように定義します：

(♣)半径ｒ，Ｒの２つの円の中心を重ね、中心から２本の半直線を引くと相似な２つの扇形が考えられます。それぞれの円弧の長さをℓ，Ｌとすると ℓ/r＝Ｌ/Ｒ(変形に依らず一定)となり、相似であることから、中心角 ↔ (半径，円弧の長さ) の関係が１対１に決まります。

そこで
(♪)「半径ｒの円(円周 ※2)上に長さｒの円弧をとり、このときの扇形の中心角の大きさを１ラジアンと定義する」

ラジアンはradianで、弧度と翻訳されています。でも、弧度というよりラジアンということの方が多いと思います。物理学では単位[rad]を用いることが多いようです。

数学では単位を書かないことの方が一般的だと思います(今回は書きます)。単位を書かなくても、前後の話の流れから判るように書くからです。例：角の大きさを１とする。
（もちろん、弧度を利用することを断っているという前提です）

話を展開します。(♪)は次のように言い換えられます。

(✲)「半径１の円上に長さ１の円弧をとり、このときの扇形の中心角の大きさを１ラジアンと定義する」

(♪)⇔(✲) (言い換えに過ぎない)の理由は解りますか。もう述べましたね、(♣)です。また、半径を１にしたのは割合の利用で、こうすると扱いやすくなります。

この定義(✲)から判るように、円の長さが2πより、一周の角の大きさは2π (ラジアン) です。すると、半周の角の大きさは π で、直角に相当するのが π/2 です。正三角形の一つの角の大きさは、半円を３等分した角の大きさだから、π/3 ですね(※3)。下図参照

ラジアンの定義(✲)から、次のことも明らかです。
半径１で中心角 θ の扇形を考えると円弧の長さは θ ですから、半径ｒで中心角 θ の扇形の円弧の長さ ℓ は rθ です。

また、半径ｒ、中心角θの扇形の面積Sは、円弧の長さを ℓ とするとＳ＝(1/2)rℓ． ℓ = rθ を使って　S=(1/2)(r^2)θとも表せます。下図参照

高校数学Ⅱの三角関数で学ぶことは話せました。▢

左）小林昭七著『微分積分読本（1変数）』（裳華房）（「微分積分トクホン」と読みます）
は、定理の証明もきちんと書いてありますし、題名の通り、読み物としてもおもしろいです。弧度法についても触れられています。前回の、角の大きさの表し方で、扇形の面積を利用するという考えは、この本に書かれていたことです。

この本を購入した理由は、微分幾何学の研究者と言ったら「小林昭七」というくらいの人だからです。昔は、微分幾何学に取り組んでいたのですが、挫折してしまいました。

中央）小林昭七著『曲線と曲面の微分幾何』（裳華房）
で微分幾何を学びました。私は旧版を読みましたが、いまでも読まれている本です。

右）小林昭七著『なっとくするオイラーとフェルマー』（講談社）
初等整数論の本を書いたのには驚きました。名につられてこの本も所蔵しています。整数論は他の本で学んだので、軽く目を通したくらいですが、きちんと書かれています。『博士の愛した数式』で数論に興味をもち、ちょっと覗いてみようかという人にはいい本だと思います。オイラーもフェルマーも整数論には欠かせない数学者です。

 

※１　中心を重ね、中心から任意に半直線を引き円との交点を考えると、任意の２円の中心から交点までの距離の比の値が一定となるからです。その値は半径の比の値です。

※２　小学算数では、円は図形で、円周を使うときは、円周の長さのように、円の枠を指すように教えているようです。どちらも円でよく、円周の長さは円の長さで十分です。

※３　高校数学でラジアンを教えると、度数法との換算を教えますが、混乱の元です。さらに、π＝180°という表現も見かけますが、私は避けます。このときの等号「＝」は等しいでなく、同一視の意味だと理解しています。だいたい、ラジアンを度数に直したり、度数をラジアンに直したりすることは、問題でしか見たことがありません。ラジアンで話をしているのに、度数を考えるのは不自然です。英語は英語で、suomea suomeksi(ﾌｨﾝﾗﾝﾄﾞ語はﾌｨﾝﾗﾝﾄﾞ語で)、「微分のことは微分でせよ」と昔から言うではないですか(高木貞治)。