三角数とGauss少年と数列の和（お子さんが数に興味をもったら…）

問題　（正の整数）１から10までをすべて足すといくつか。

小学5年生のときに、クラスメイトのHからこの問題を出された。ちょっと考えて45と答えたが、Hは「直ぐに答えないといけない」と言った。「知ってる訳ないじゃん」と思ったが、そんなんどーでもいいことのようだ。「どーやって出したか」と訊かれたので、１＋９，２＋８，３＋７，４＋６の結果に５を足したと言ったが、「そんなんダメだ」と言って、「答えは55」と自慢げに言った。「しもたー、10を足し忘れた」というのはどーでもよく、ただ学習塾で習ったことを自慢したかっただけのようだ。「ぢゃー、１から100まで足したらいくつか」と問題を出してきたが、「ポットじゃあるまいし」と思っていたら、答えるよりも早く「5050だよ」と言った。アホらしっ。まあ、これがあったから、今でも「55」だけはずっと覚えている。

つまらぬことをずっと覚えているものです。脳に、傷として刻み込まれたのだと思います。

ここに出てきた「55」や「5050」が三角数です。小さい方から順に並べると

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, ...

となります。どのような規則で並んでいると思いますか。

「２，３，４，５，６，…と増えている」という回答が多いでしょうか。もちろん、正解です。その場合、第ｎ項（ｎ番目の数）は簡単に求められそうですか(※１)。例えば、第100項はいくつですか、と訊かれたら直ぐに答えられそうですか。

この数列はもっと単純で、少年Hが言ったように、正の整数を１から順に足したものを並べたものです。
　　　　　　　　1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, ...

という具合にです。高校数学Bの例題にありそうですね。これが三角数と呼ばれるものです。
次の絵をみると、その由来は納得してもらえると思います。

黒白で色分けし見やすくしたつもりですが、三角形が見え難くなってしまったかな。次の絵だと三角形が見やすいと思います。黒の碁石だけを見てくださいね。

では先ほどの第100項は、

 　　　　　　　　　　　　　　1+2+3+・・・＋99+100

の答えなので、少年Hが自慢気に言った「5050」です。

実はこれ、数学者ガウス (Gauss, 1777-1855 ※２) の逸話で知られている問題なのです。
ガッコのセンセが、自分の仕事をするための時間稼ぎのために、受け持ちの子供たち(小学３年生？)に「１から100までを足したらいくつか」と出題したのですが、少年ガウスに即答されてしまったのだそうです。

(1+100)×100÷2を計算し、5050を導いたのです。

単に、１，２，３，４...でなく、いろいろな物を使ったりして数を習得したのなら、小２・３年生でも思いつくとおもいます。最近だと、小学受験や中学受験などで詰め込まれているため、即答できる子がいると思いますが…。

閑話休題。次のように数を認識していると、ガウス少年のように解けると思います。

理由は、次の図で明らかだと思います。パズルやブロック(レゴ)遊びをしている子も気づくと思います。流石に、１から100までの整数の和は並べられないので、１から10までの和を表現してみました。黒の碁石が 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 を表しています。

黒の碁石の個数がかんたんに求められますね。
長方形状に並んでいるから、全部の碁石の個数は 10×11個で、白の碁石はその半分だから

10×11÷２＝55.

だから、黒の碁石は55個です。これにより、１から100までの合計も同様に考えて、

　　　　　　　　　　　　　　　(1+100)×100÷2=5050.

もちろん、碁石でなく、みかんやお猪口を並べてもおもしろいですね。私の場合は、小学１年生の授業で「スタンプを押す」という作業を通して、数を図形的に捉えていました。□

動画あり(2021.4.4 9:17以降視聴可)

余談
その授業はいろいろな形のスタンプを帳面(ﾁｮｳﾒﾝ：ノートの意)に書いた１から10までの数の横に、その数の分だけスタンプを押すというものでした。最初の１から３まではできた人から順にセンセに見せに行き、〇をつけてもらうという形式でした。５からは「自由に押していい」と指示されたから、数字の横に自由に押したらペケされました。
その当時も、いまも寡黙でまじめな少年一は、文句も言わずじっと耐えました。まあ、カトセンセの「自由に」というのは、「スタンプの種類」について言ったもので、「個数を好きなだけ押してもいい」という意味でないことは、いまは判ります。でも当時の私には、そのように受け取れませんでした。級友のひとりは帳面一杯にスタンプを押していました。やはり、センセの指図に問題があったのだと思います。■

※１　高校数学Bの数列で、１からｎまでの整数の和は、公式として習うと思います：

n(n+1)/2.

※２　数学者 Gauss について書かれた本は数多あると思います。所蔵本から次の３冊を紹介しておきます：

・左の 安倍 齊著『代数ことはじめ』（森北出版 1993年出版）は、中古しかないようです。
ただ、これは書名の通り、数学の本です。でもやわらかく書かれています。

・中の E.T.ベル著『数学をつくった人びと Ⅱ』（ハヤカワ文庫 NF）は、新刊で入手できそうです。所蔵のは、東京図書から出版されたもので、上下巻だったものが文庫化で３分冊になったようです。上巻の後半だったので、第２巻に収録されたようです。感想をみてガウスが載っていると確認しました。
この本は、数学者の伝記です。読み物としておもしろいと思います。1976年以来読み継がれているようです。所蔵のは1984年版です。

・右の S.G.ギンディキン著『「ガウスが切り開いた道」』（丸善）は、新刊で入手できるようです。所蔵のは、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京から出版されたものですが、いまは丸善から出されているようです。
ガウスの業績を知る格好の本だと思います。内容も他２冊の中間的なものだと思います。