確率論の始まりとフェルマの解答 ～パスカルとフェルマの考えた問題 [前] ～

B.Pascal(パスカル 1623-1662)とP.Fermat(フェルマ 1607-1665)の1654年7月ー10月に交わした往復書簡(8通)が確率論のはじまりと言われています。

パスカル：「人間は考える葦である」(パンセ)、パスカルの原理(圧力の原理)、幾何学

フェルマ：フェルマの最終定理、微分、解析幾何学、数論

が直ぐに思い浮かびます。この２人(当時 31歳、47歳)の往復書簡はパスカルの知人メレ(賭博師)から出された問題解決のためのものでした。

メレからの質問は２つで「勝つ見込み」と「賭け金分配」です。ここでは「賭け金分配」について取り上げます(※1)。

【賭け金分配問題】

　２人のプレーヤーがいくらかの賭け金を出してゲームを始めたところ、途中で中止しなければならなくなったという。このとき、賭け金をどのように分配すれば公平であろうか。

この問題はその当時のギャンブラーにはよく知られていたらしく、イタリアの数学者パチオリ(Pacioli 1445-1515)が著書で書き残しているそうです。

「技量の等しいAとBがいくらかの賭け金を出してゲームを行い、先に６回勝った方が賭け金を全部もらえることにした。ところが、Aが４回、Bが３回勝ったところでゲームを中止しなければならなくなった。賭け金をどう分配すれはよいか。」（パチオリ）

パチオリは勝ち数に比例した ４対３ で分ければよいと考えたらしい...これをメレが質問したということは、この答えに疑問を持っていたと考えられます。この問題をめぐって往復書簡がはじまったということです。パスカルはフェルマに間違いを指摘されたようですが、結局は２人とも別々に同じ解答を得たとのことです。

みなさんはどのように解かれるでしょうか。今回はフェルマの方法を紹介します。

【フェルマの解法】

あらゆる勝ち負けの可能性を考え、Ａの勝つチャンスとＢの勝つチャンスの比で分配する。

パチオリの問題を解いてみます：

Ａはあと2勝、Ｂはあと３勝すれば賞金が全部もらえます。したがって多くて４回の勝負でゲームは終了します。これを踏まえて勝負の可能性を書き上げてみます。

Ａが勝つことを〇、Ｂが勝つことを●で表すと次の通りです。（$2^4=16$ 通り）

　　　　　　　　　〇〇〇〇　　〇〇〇▲　　〇〇▲〇　　〇▲〇〇
　　　　　　　　　▲〇〇〇　　〇〇▲▲　　〇▲〇▲　　▲〇〇▲

　　　　　　　　　〇▲▲〇　　▲〇▲〇　　▲▲〇〇　　〇▲▲▲

　　　　　　　　　▲〇▲▲　　▲▲〇▲　　▲▲▲〇　　▲▲▲▲

これら16通りはすべて同じよう現れると考えられる。Bが賞金をもらえるのは下線を付けた５通り、Ａが賞金をもらえるのは残りの11通り。

よって、賞金を ＡとＢの比を 11対５ で分配すればよい。▮

参考文献

　　　　　　　渡部 隆一 著『確率』（共立出版）

　　　　　　　E.T. ベル 著『数学をつくった人びと(上)』(東京図書)

　　　　　　　数学セミナー増刊『100人の数学者』（日本評論社）

　　　　　　　吉永 良正 著『数学を愛した人たち』（東京出版）

※１　渡部隆一氏の『確率』に書かれている問題と答え(pp.64-65)

　　問題　２つのサイコロを何回か投げて少なくとも１回６のぞろ目が出たら勝ちとする。

　　　　このゲームにおいて、内科医投げれば勝つ見込みができるか。

　　

　　答え　25回以上投げる