数学教師が認識しているマイナスの話③補遺 整数の話を有理数や実数に拡げてもいいの？

マイナスの授業で疑問に思いませんでしたか。

整数を用いてプラス・マイナスの計算規則を説明してきたのに、その計算規則を分数や無理数にも適用してもいいの？と

今回の話でこのシリーズは終わりです。話の主軸である環の定義を再記します：

集合 $R$ に２つの閉じた演算 和「＋」と積「・」が定義されていて

　　(1) 和に関して可換群を成し、(2) 積に関して半群を成し、(3) 分配律をみたす

とき、集合 $R$ は環(ｶﾝ)であると言います。

最初は、環の代表例として整数を紹介しました。次に、環であることから成り立つ性質を紹介しました：

 　環 $R$ で引き算を定義し、$a, \: b \in R$ において $-(-a)=a$, $a-(-b)=a+b$

および

　　　　$a･0＝0･a=0$, $(-a)･b=a･(-b)=-(a･b)$, $(-a)･(-b)=a･b$ 

を示しました。

ここで考えてほしいことがあります。

この定義をみたす数の集合、つまり、整数以外に環である数の集合があるでしょうか。

有理数、実数、複素数も環ですね。つまり、これまで話してきたマイナスの話は、有理数、実数、複素数でも成り立つということです。これが抽象化した利点です。

これまで整数の話しかしていないように見えていたと思いますが、実際は有理数、実数、複素数でのマイナスの話も同時にしていました。実際は、環であるものすべてに共通した話をしていたのです。こういうことを踏まえた上で、教師はマイナスの話の授業をしています。ただこのことを中学生に話す訳にはいかないので、もっともらしい説明をしているのです。

ところで中学･高校数学の範囲で他に環の例があるのですが気がつきますか。

（１分ほど考えてみてください）

ではその例を挙げます：

　　　　　　　　　多項式、合同式、行列 (以前は高校数学にありました)

です。mod６の合同式は整域でない可換環の例で、行列は整域でない非可換環の例ですね。

整域というのは環の２元 $a, \: b$ の積が $0$ なら $a=0 または b=0$ ということです。方程式の因数分解による解法はこの性質を使っています。

整域でないということは、$ab=0$ であるが $a \neq 0 かつ b \neq 0$ という元があるということです。実際、

　　　　　　　　　　　　　　　$2･3 \equiv 0 \pmod 6$ 

ですね。

中学･高校で指導されている教師は、これらのことを踏まえて授業をされていると思います。

単に問題を解くための授業は別です。▢