物理現象と比例･反比例【活用編】

数学自体には比例･反比例というのはほとんど登場しません。比例に相当するのは線形でありこれはよく登場します。線形でないとき非線形といい私の知らない世界ですがよく耳にします。

前回の基本の確認でも触れた通り、理科の授業で扱うために算数･数学の授業で比例･反比例を扱っているのだと思います。それを示すために理科で学ぶ法則を抜粋してきました。

【オームの法則】電流Ｉ[A]は電圧Ｅ[v]に比例し、抵抗Ｒに反比例する。

【落体運動】落下の速さｖは時間ｔに比例する。

【自由落下】静かに落とした物体の落下の距離ｈは時間ｔの２乗に比例する。

【運動の第二法則】
加速度の大きさα[㎨]は合力の大きさＦに比例し、物体の質量ｍ[kg]に反比例する。

【フックの法則】
ばねの伸びまたは縮みがｘ[m]のときの弾性力の大きさＦ[N]はｘに比例する。

【ケプラーの第三法則】惑星の公転周期Ｔの２乗は軌道楕円の半長軸ａの３乗に比例する。

【万有引力の法則】
２つの物体が及ぼし合う万有引力の大きさｆ[N]は２物体の質量ｍ, M[kg]の積に比例し、距離ｒ[m]の２乗に反比例する。（以上これらの法則は中高の教科書･参考書から抜粋）

比例･反比例という知識があれば、実験結果で上のようなことが予想され法則として受け入れられたときに有難いことが起きます。それらを式で表現してみます。いずれの場合も比例定数はｋで統一して表すことにします。

【オームの法則】電流Ｉ[A]は電圧Ｅ[v]に比例し、抵抗Ｒに反比例する。
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電流Ｉは抵抗Ｒに反比例するのでＩ･Ｒ＝ｋで、電流Ｉは電圧Ｖに比例するのでＩ･Ｒ＝ｋ･Ｅ と書ける。単位をうまく調整したのが、よく知られているＥ＝ＩＲです。
　　

【落体運動】落下の速さｖは時間ｔに比例する。⇒ ｖ＝ｋｔ （このｋが重力加速度ｇ）

【自由落下】静かに落とした物体の落下の距離ｈは時間ｔの２乗に比例する。
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　　　　　　　　　　　　　ｈ＝ｋ･ｘ^2
（中学の理科で自由落下を扱うために中学数学３で２次関数を比例で導入している）

【運動の第二法則】
加速度の大きさα[㎨]は合力の大きさＦに比例し、物体の質量ｍ[kg]に反比例する。
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オームの法則と同じに考えて、ｍα＝ｋＦ という式が得る。ｋ＝１のときのＦの大きさを１N（１ニュートン）と定義すれば、よく知られている Ｆ＝ｍα を得る。

【フックの法則】
ばねの伸びまたは縮みがｘ[m]のときの弾性力の大きさＦ[N]はｘに比例する。
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　　　　　　　　　　　　　Ｆ＝ｋｘ（このｋがばね定数）

【ケプラーの第三法則】惑星の公転周期Ｔの２乗は軌道楕円の半長軸ａの３乗に比例する。
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　　　　　　　　　　　　Ｔ^２＝ｋａ^３


【万有引力の法則】２つの物体が及ぼし合う万有引力の大きさｆ[N]は２物体の質量ｍ, M[kg]の積に比例し、距離ｒ[m]の２乗に反比例する。
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万有引力の大きさｆ距離ｒの２乗に反比例するのでｆ･ｒ^２＝ｋで、２物体の質量ｍ, Mの積に比例するから ｆ･ｒ^２＝ｋｍＭ と書けます。このｋが万有引力定数でＧで表されます。▮

こうして理科の法則を数式で表現してみましたが、より高度な数学(微積分、微分方程式、ベクトル解析、微分幾何、複素解析等々)を学ぶと物理や機械が好きな人にはたまらなくおもしろいのだと思います。物理をおもしろいと思うのですが、なぜか苦手な私には知りたくても知れない世界です。▢