０÷０＝０？１？それとも…

数 a を０で割るとどうなりますか。

Aさん「『÷０』は定義をしない」

Bさん「０で割ってはいけない」

Cさん「答えはない」

すべておっしゃる通りです。

もう少し丁寧に答えるなら、０÷０＝不定、（０でない数）÷０＝不能　と答えるのがいいかと思います。高校数学Ⅲで学ぶ「極限」というところで不定形として習うと思います。

でもね、問題は、なぜ０でも１でもないかなのです。

０÷０＝０はとても自然に思えるし、こう答える人も多いと思います。

また０÷０＝１も自然に思えます。

えっ、思えませんか。だって、１÷１、２÷２、３÷３、…、100÷100の答えはすべて１でしょ。つまり、ある数をそれ自身で割れば１になるじゃないですか。小学生の頃は、まじめにそう考えていました。

中学数学になって、「『÷０』は定義をしない」「０で割ってはいけない」と教えられたと思います。１次方程式を解くときに用いる「等式の性質」の説明のときです。

「等式の性質」というのは、等式 A＝B なら、その両辺に同じ数を足しても、同じ数を引いても、同じ数を掛けても、同じ数で割ってもいいよ（でもね、０で割ってはいけない）、というものです。

中学数学では０で割るような機会はないと思いますが、高校数学になるとつい０で割りたくなることがあります。それも ０÷０＝１ということを使ってです。と言っても、当人は０で割っているという自覚なんてないと思うんですよ、私も含めて多くの高校生は。ただ授業で繰り返し指摘されるし、テストでは大きな減点になるし、満点阻止のために出題されたりもするし、大学入試では必須事項の一つなので、覚えることになるのです。

もしも０÷０＝１になったら、みんなが幸せになれます。テストで75点だって、30点だって、５点だって、100点に等しいからです。この話は別の機会に触れることにします。

なぜ０で割ってはいけないのか、０÷０や５÷０がなぜ不定や不能とされているのかの説明です。

15÷３はいくつですか。

５はどのように導きましたか。

小学校のとき、こう習いませんでしたか。掛け算九九の３の段を頭の中で、

３×１＝３、３×２＝６、３×３＝９、３×４＝１２、３×５＝１５

とやって「５」だと。つまり、３×□＝１５ となる□が答えなのです。

この考え方を０÷０に適用させると、０×□＝０ に当てはまる□が答えです。

０、１、２、３、…、－１、－２、1/2、√２、１＋２i 、…

のように多分知っている数すべてが答えになります。任意の複素数でいいのです。一つに定まらないから、０÷０＝不定 としているのです。

５÷０も同じように考えると、０×□＝５ に当てはまる□がないことに気づきます。計算が不可能だから、５÷０＝不能 としているのです。

数学では一意に定まらないことを嫌います。だから「０で割っちゃダメ」だと定義するのです。知らんけど


※ 2021.11.12 一部加筆しました。